Основы алгебры Примеры

$\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$

Этап 1

Разложим $\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{\frac{1}{4}} - 24 = 0$

Этап 1.3

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{2} - 5 x^{\frac{1}{4}} - 24 = 0$

Этап 1.4

Пусть $u = x^{\frac{1}{4}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{4}}$ для всех.

$u^{2} - 5 u - 24 = 0$

Этап 1.5

Разложим $u^{2} - 5 u - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 24$ , а сумма — $- 5$ .

$- 8, 3$

Этап 1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 8) (u + 3) = 0$

Этап 1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{4}}$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 8) (x^{\frac{1}{4}} + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$

$x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $x^{\frac{1}{4}} - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{\frac{1}{4}} - 8$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{4}} = 8$

Этап 3.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 8^{4}$

Этап 3.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 8^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 8^{4}$

Этап 3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$x = 4096$

Этап 4

Приравняем $x^{\frac{1}{4}} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{\frac{1}{4}} + 3$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{\frac{1}{4}} = - 3$

Этап 4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 3)}^{4}$

Этап 4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 3)}^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 3)}^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 3)}^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 3)}^{4}$

Этап 4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$x = 81$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{\frac{1}{4}} - 8) (x^{\frac{1}{4}} + 3) = 0$ верно.

$x = 4096, 81$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$ истинным.

$x = 4096$