Основы алгебры Примеры

$\sqrt{3 x + 18} - \sqrt{x + 19} = 1$

Этап 1

Добавим $\sqrt{x + 19}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{3 x + 18} = 1 + \sqrt{x + 19}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 x + 18}}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x + 18}$ в виде ${(3 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(3 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 x + 18)}^{1} = {(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$3 x + 18 = {(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{x + 19}) (1 + \sqrt{x + 19})$ .

$3 x + 18 = (1 + \sqrt{x + 19}) (1 + \sqrt{x + 19})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(1 + \sqrt{x + 19}) (1 + \sqrt{x + 19})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 18 = 1 (1 + \sqrt{x + 19}) + \sqrt{x + 19} (1 + \sqrt{x + 19})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 18 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} (1 + \sqrt{x + 19})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 18 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} \cdot 1 + \sqrt{x + 19} \sqrt{x + 19}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$3 x + 18 = 1 + 1 \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} \cdot 1 + \sqrt{x + 19} \sqrt{x + 19}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $\sqrt{x + 19}$ на $1$ .

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} \cdot 1 + \sqrt{x + 19} \sqrt{x + 19}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{x + 19}$ на $1$ .

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} \sqrt{x + 19}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $\sqrt{x + 19} \sqrt{x + 19}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

Возведем $\sqrt{x + 19}$ в степень $1$ .

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {\sqrt{x + 19}}^{1} \sqrt{x + 19}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{x + 19}$ в степень $1$ .

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {\sqrt{x + 19}}^{1} {\sqrt{x + 19}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {\sqrt{x + 19}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {\sqrt{x + 19}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{x + 19}}^{2}$ в виде $x + 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 19}$ в виде ${(x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {({(x + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {(x + 19)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {(x + 19)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {(x + 19)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {(x + 19)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + x + 19$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $1$ и $19$ .

$3 x + 18 = 20 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + x$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $\sqrt{x + 19}$ и $\sqrt{x + 19}$ .

$3 x + 18 = 20 + 2 \sqrt{x + 19} + x$

Этап 4

Решим относительно $2 \sqrt{x + 19}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $20 + 2 \sqrt{x + 19} + x = 3 x + 18$ .

$20 + 2 \sqrt{x + 19} + x = 3 x + 18$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{x + 19}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{x + 19} + x = 3 x + 18 - 20$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{x + 19} = 3 x + 18 - 20 - x$

Этап 4.2.3

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$2 \sqrt{x + 19} = 2 x + 18 - 20$

Этап 4.2.4

Вычтем $20$ из $18$ .

$2 \sqrt{x + 19} = 2 x - 2$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x + 19})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 19}$ в виде ${(x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(2 {(x + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 19)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x + 19)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x + 19)}^{1} = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$4 (x + 19) = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot 19 = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $4$ на $19$ .

$4 x + 76 = {(2 x - 2)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(2 x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(2 x - 2)}^{2}$ в виде $(2 x - 2) (2 x - 2)$ .

$4 x + 76 = (2 x - 2) (2 x - 2)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(2 x - 2) (2 x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 76 = 2 x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 76 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 76 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x + 76 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$4 x + 76 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x + 76 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + 76 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$4 x + 76 = 4 x^{2} - 4 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 x + 76 = 4 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 2$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$4 x + 76 = 4 x^{2} - 4 x - 4 x + 4$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$4 x + 76 = 4 x^{2} - 8 x + 4$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} - 8 x + 4 = 4 x + 76$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 8 x + 4 - 4 x = 76$

Этап 7.2.2

Вычтем $4 x$ из $- 8 x$ .

$4 x^{2} - 12 x + 4 = 76$

Этап 7.3

Вычтем $76$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 12 x + 4 - 76 = 0$

Этап 7.4

Вычтем $76$ из $4$ .

$4 x^{2} - 12 x - 72 = 0$

Этап 7.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 12 x - 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 12 x - 72 = 0$

Этап 7.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 3 x) - 72 = 0$

Этап 7.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 72$ .

$4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Этап 7.5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 (- 3 x)$ .

$4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Этап 7.5.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18$ .

$4 (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Этап 7.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $- 3$ .

$- 6, 3$

Этап 7.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Этап 7.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 6) (x + 3) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 7.7.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 7.8

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 7.8.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 6) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 6, - 3$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{3 x + 18} - \sqrt{x + 19} = 1$ истинным.

$x = 6$