Основы алгебры Примеры

$8 x^{\frac{1}{3}} = x^{- \frac{2}{3}}$

Этап 1

Исключим дробные показатели степени, умножив и тот, и другой на НОЗ.

${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Этап 2

Упростим ${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $8 x^{\frac{1}{3}}$ .

$8^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Этап 2.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$512 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Этап 2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$512 x^{1} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Этап 2.4

Упростим.

$512 x = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Этап 3

Упростим ${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 x = x^{- \frac{2}{3} \cdot 3}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

Этап 3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$512 x = x^{- 2}$

Этап 3.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$512 x = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x^{2}$

Этап 4.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 5

Каждый член в $512 x = \frac{1}{x^{2}}$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим каждый член $512 x = \frac{1}{x^{2}}$ на $x^{2}$ .

$512 x \cdot x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$512 (x^{2} x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$512 (x^{2} x^{1}) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Этап 5.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$512 x^{2 + 1} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Этап 5.2.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Этап 5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$512 x^{3} = 1$

Этап 6

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$512 x^{3} - 1 = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $512 x^{3}$ в виде ${(8 x)}^{3}$ .

${(8 x)}^{3} - 1 = 0$

Этап 6.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

${(8 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Этап 6.2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 8 x$ и $b = 1$ .

$(8 x - 1) ({(8 x)}^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 6.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Применим правило умножения к $8 x$ .

$(8 x - 1) (8^{2} x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 6.2.4.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 6.2.4.3

Умножим $8$ на $1$ .

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1^{2}) = 0$

Этап 6.2.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$8 x - 1 = 0$

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $8 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $8 x - 1$ к $0$ .

$8 x - 1 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $8 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$8 x = 1$

Этап 6.4.2.2

Разделим каждый член $8 x = 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим каждый член $8 x = 1$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Этап 6.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{8}$

Этап 6.5

Приравняем $64 x^{2} + 8 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $64 x^{2} + 8 x + 1$ к $0$ .

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Этап 6.5.2

Решим $64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.5.2.2

Подставим значения $a = 64$ , $b = 8$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

Этап 6.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Этап 6.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Этап 6.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 256$ на $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 64}$

Этап 6.5.2.3.1.3

Вычтем $256$ из $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 64}$

Этап 6.5.2.3.1.4

Перепишем $- 192$ в виде $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 64}$

Этап 6.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (192)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

Этап 6.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

Этап 6.5.2.3.1.7

Перепишем $192$ в виде $8^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $64$ из $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 64}$

Этап 6.5.2.3.1.7.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 64}$

Этап 6.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 64}$

Этап 6.5.2.3.1.9

Перенесем $8$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 64}$

Этап 6.5.2.3.2

Умножим $2$ на $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$

Этап 6.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{16}$

Этап 6.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{8}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$