Основы алгебры Примеры

$\frac{p + 8}{p^{2} + 8 p + 12} - \frac{11}{p^{2} + 6 p + 8} = \frac{1}{p^{2} + 10 p + 24}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $p^{2} + 8 p + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $8$ .

$2, 6$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{p + 8}{(p + 2) (p + 6)} - \frac{11}{p^{2} + 6 p + 8} = \frac{1}{p^{2} + 10 p + 24}$

Этап 1.2

Разложим $p^{2} + 6 p + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $6$ .

$2, 4$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{p + 8}{(p + 2) (p + 6)} - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} = \frac{1}{p^{2} + 10 p + 24}$

Этап 1.3

Разложим $p^{2} + 10 p + 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $10$ .

$4, 6$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{p + 8}{(p + 2) (p + 6)} - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(p + 2) (p + 6), (p + 2) (p + 4), (p + 4) (p + 6)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $p + 2$ является само значение $p + 2$ .

$(p + 2) = p + 2$

$(p + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $p + 6$ является само значение $p + 6$ .

$(p + 6) = p + 6$

$(p + 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $p + 2$ является само значение $p + 2$ .

$(p + 2) = p + 2$

$(p + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $p + 4$ является само значение $p + 4$ .

$(p + 4) = p + 4$

$(p + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

Множителем $p + 6$ является само значение $p + 6$ .

$(p + 6) = p + 6$

$(p + 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

НОК $p + 2, p + 6, p + 2, p + 4, p + 4, p + 6$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(p + 2) (p + 6) (p + 4)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{p + 8}{(p + 2) (p + 6)} - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)}$ умножим на $(p + 2) (p + 6) (p + 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{p + 8}{(p + 2) (p + 6)} - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)}$ на $(p + 2) (p + 6) (p + 4)$ .

$\frac{p + 8}{(p + 2) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(p + 2) (p + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{p + 8}{(p + 2) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(p + 8) (p + 4) - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(p + 8) (p + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (p + 4) + 8 (p + 4) - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p \cdot p + p \cdot 4 + 8 (p + 4) - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p \cdot p + p \cdot 4 + 8 p + 8 \cdot 4 - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Умножим $p$ на $p$ .

$p^{2} + p \cdot 4 + 8 p + 8 \cdot 4 - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.1.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $p$ .

$p^{2} + 4 \cdot p + 8 p + 8 \cdot 4 - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $8$ на $4$ .

$p^{2} + 4 p + 8 p + 32 - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.1.3.2

Добавим $4 p$ и $8 p$ .

$p^{2} + 12 p + 32 - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $(p + 2) (p + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{11}{(p + 2) (p + 4)}$ в числитель.

$p^{2} + 12 p + 32 + \frac{- 11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.1.4.2

Вынесем множитель $(p + 2) (p + 4)$ из $(p + 2) (p + 6) (p + 4)$ .

$p^{2} + 12 p + 32 + \frac{- 11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 4) (p + 6)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$p^{2} + 12 p + 32 + \frac{- 11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 4) (p + 6)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$p^{2} + 12 p + 32 - 11 (p + 6) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p^{2} + 12 p + 32 - 11 p - 11 \cdot 6 = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $- 11$ на $6$ .

$p^{2} + 12 p + 32 - 11 p - 66 = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $11 p$ из $12 p$ .

$p^{2} + p + 32 - 66 = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $66$ из $32$ .

$p^{2} + p - 34 = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(p + 6) (p + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(p + 6) (p + 4)$ из $(p + 4) (p + 6)$ .

$p^{2} + p - 34 = \frac{1}{(p + 6) (p + 4) (1)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $(p + 6) (p + 4)$ из $(p + 2) (p + 6) (p + 4)$ .

$p^{2} + p - 34 = \frac{1}{(p + 6) (p + 4) (1)} ((p + 6) (p + 4) (p + 2))$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель.

$p^{2} + p - 34 = \frac{1}{(p + 6) (p + 4) \cdot 1} ((p + 6) (p + 4) (p + 2))$

Этап 3.3.1.4

Перепишем это выражение.

$p^{2} + p - 34 = p + 2$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $p$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $p$ из обеих частей уравнения.

$p^{2} + p - 34 - p = 2$

Этап 4.1.2

Объединим противоположные члены в $p^{2} + p - 34 - p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычтем $p$ из $p$ .

$p^{2} + 0 - 34 = 2$

Этап 4.1.2.2

Добавим $p^{2}$ и $0$ .

$p^{2} - 34 = 2$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $p$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $34$ к обеим частям уравнения.

$p^{2} = 2 + 34$

Этап 4.2.2

Добавим $2$ и $34$ .

$p^{2} = 36$

Этап 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$p = \pm \sqrt{36}$

Этап 4.4

Упростим $\pm \sqrt{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$p = \pm \sqrt{6^{2}}$

Этап 4.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$p = \pm 6$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$p = 6$

Этап 4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$p = - 6$

Этап 4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$p = 6, - 6$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{p + 8}{p^{2} + 8 p + 12} - \frac{11}{p^{2} + 6 p + 8} = \frac{1}{p^{2} + 10 p + 24}$ истинным.

$p = 6$