Основы алгебры Примеры

$6 - \frac{1}{v + 1} = \frac{4}{v + 2}$

Этап 1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{v + 1} = \frac{4}{v + 2} - 6$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$v + 1, v + 2, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $v + 1$ является само значение $v + 1$ .

$(v + 1) = v + 1$

$(v + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $v + 2$ является само значение $v + 2$ .

$(v + 2) = v + 2$

$(v + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $v + 1, v + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(v + 1) (v + 2)$

Этап 3

Каждый член в $- \frac{1}{v + 1} = \frac{4}{v + 2} - 6$ умножим на $(v + 1) (v + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{v + 1} = \frac{4}{v + 2} - 6$ на $(v + 1) (v + 2)$ .

$- \frac{1}{v + 1} ((v + 1) (v + 2)) = \frac{4}{v + 2} ((v + 1) (v + 2)) - 6 ((v + 1) (v + 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $v + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{v + 1}$ в числитель.

$\frac{- 1}{v + 1} ((v + 1) (v + 2)) = \frac{4}{v + 2} ((v + 1) (v + 2)) - 6 ((v + 1) (v + 2))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{v + 1} ((v + 1) (v + 2)) = \frac{4}{v + 2} ((v + 1) (v + 2)) - 6 ((v + 1) (v + 2))$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- (v + 2) = \frac{4}{v + 2} ((v + 1) (v + 2)) - 6 ((v + 1) (v + 2))$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- v - 1 \cdot 2 = \frac{4}{v + 2} ((v + 1) (v + 2)) - 6 ((v + 1) (v + 2))$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- v - 2 = \frac{4}{v + 2} ((v + 1) (v + 2)) - 6 ((v + 1) (v + 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $v + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $v + 2$ из $(v + 1) (v + 2)$ .

$- v - 2 = \frac{4}{v + 2} ((v + 2) (v + 1)) - 6 ((v + 1) (v + 2))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$- v - 2 = \frac{4}{v + 2} ((v + 2) (v + 1)) - 6 ((v + 1) (v + 2))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- v - 2 = 4 (v + 1) - 6 ((v + 1) (v + 2))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- v - 2 = 4 v + 4 \cdot 1 - 6 ((v + 1) (v + 2))$

Этап 3.3.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$- v - 2 = 4 v + 4 - 6 ((v + 1) (v + 2))$

Этап 3.3.1.4

Развернем $(v + 1) (v + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- v - 2 = 4 v + 4 - 6 (v (v + 2) + 1 (v + 2))$

Этап 3.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- v - 2 = 4 v + 4 - 6 (v \cdot v + v \cdot 2 + 1 (v + 2))$

Этап 3.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- v - 2 = 4 v + 4 - 6 (v \cdot v + v \cdot 2 + 1 v + 1 \cdot 2)$

Этап 3.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.1

Умножим $v$ на $v$ .

$- v - 2 = 4 v + 4 - 6 (v^{2} + v \cdot 2 + 1 v + 1 \cdot 2)$

Этап 3.3.1.5.1.2

Перенесем $2$ влево от $v$ .

$- v - 2 = 4 v + 4 - 6 (v^{2} + 2 \cdot v + 1 v + 1 \cdot 2)$

Этап 3.3.1.5.1.3

Умножим $v$ на $1$ .

$- v - 2 = 4 v + 4 - 6 (v^{2} + 2 v + v + 1 \cdot 2)$

Этап 3.3.1.5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- v - 2 = 4 v + 4 - 6 (v^{2} + 2 v + v + 2)$

Этап 3.3.1.5.2

Добавим $2 v$ и $v$ .

$- v - 2 = 4 v + 4 - 6 (v^{2} + 3 v + 2)$

Этап 3.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- v - 2 = 4 v + 4 - 6 v^{2} - 6 (3 v) - 6 \cdot 2$

Этап 3.3.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Умножим $3$ на $- 6$ .

$- v - 2 = 4 v + 4 - 6 v^{2} - 18 v - 6 \cdot 2$

Этап 3.3.1.7.2

Умножим $- 6$ на $2$ .

$- v - 2 = 4 v + 4 - 6 v^{2} - 18 v - 12$

Этап 3.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $18 v$ из $4 v$ .

$- v - 2 = - 14 v + 4 - 6 v^{2} - 12$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $12$ из $4$ .

$- v - 2 = - 14 v - 6 v^{2} - 8$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $v$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 14 v - 6 v^{2} - 8 = - v - 2$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $v$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $v$ к обеим частям уравнения.

$- 14 v - 6 v^{2} - 8 + v = - 2$

Этап 4.2.2

Добавим $- 14 v$ и $v$ .

$- 13 v - 6 v^{2} - 8 = - 2$

Этап 4.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- 13 v - 6 v^{2} - 8 + 2 = 0$

Этап 4.4

Добавим $- 8$ и $2$ .

$- 13 v - 6 v^{2} - 6 = 0$

Этап 4.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 13 v - 6 v^{2} - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Изменим порядок $- 13 v$ и $- 6 v^{2}$ .

$- 6 v^{2} - 13 v - 6 = 0$

Этап 4.5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 v^{2}$ .

$- (6 v^{2}) - 13 v - 6 = 0$

Этап 4.5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 13 v$ .

$- (6 v^{2}) - (13 v) - 6 = 0$

Этап 4.5.1.4

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$- (6 v^{2}) - (13 v) - 1 \cdot 6 = 0$

Этап 4.5.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 v^{2}) - (13 v)$ .

$- (6 v^{2} + 13 v) - 1 \cdot 6 = 0$

Этап 4.5.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 v^{2} + 13 v) - 1 (6)$ .

$- (6 v^{2} + 13 v + 6) = 0$

Этап 4.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot 6 = 36$ , а сумма — $b = 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $13$ из $13 v$ .

$- (6 v^{2} + 13 (v) + 6) = 0$

Этап 4.5.2.1.1.2

Запишем $13$ как $4$ плюс $9$

$- (6 v^{2} + (4 + 9) v + 6) = 0$

Этап 4.5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (6 v^{2} + 4 v + 9 v + 6) = 0$

Этап 4.5.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((6 v^{2} + 4 v) + 9 v + 6) = 0$

Этап 4.5.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (2 v (3 v + 2) + 3 (3 v + 2)) = 0$

Этап 4.5.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 v + 2$ .

$- ((3 v + 2) (2 v + 3)) = 0$

Этап 4.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 v + 2) (2 v + 3) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 v + 2 = 0$

$2 v + 3 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $3 v + 2$ к $0$ , затем решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $3 v + 2$ к $0$ .

$3 v + 2 = 0$

Этап 4.7.2

Решим $3 v + 2 = 0$ относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 v = - 2$

Этап 4.7.2.2

Разделим каждый член $3 v = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.1

Разделим каждый член $3 v = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 v}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 4.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 v}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 4.7.2.2.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{- 2}{3}$

Этап 4.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$v = - \frac{2}{3}$

Этап 4.8

Приравняем $2 v + 3$ к $0$ , затем решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $2 v + 3$ к $0$ .

$2 v + 3 = 0$

Этап 4.8.2

Решим $2 v + 3 = 0$ относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 v = - 3$

Этап 4.8.2.2

Разделим каждый член $2 v = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.1

Разделим каждый член $2 v = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 v}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 v}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.8.2.2.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$v = - \frac{3}{2}$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 v + 2) (2 v + 3) = 0$ верно.

$v = - \frac{2}{3}, - \frac{3}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$v = - \frac{2}{3}, - \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$v = - 0.\overline{6}, - 1.5$

Форма смешанных чисел:

$v = - \frac{2}{3}, - 1 \frac{1}{2}$