Основы алгебры Примеры

$\frac{8}{t^{2} - 16} - \frac{1}{8} = \frac{1}{t - 4}$

Этап 1

Добавим $\frac{1}{8}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{8}{t^{2} - 16} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

Этап 2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{8}{t^{2} - 4^{2}} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = t$ и $b = 4$ .

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(t + 4) (t - 4), t - 4, 8$

Этап 3.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.4

Простыми множителями $8$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

У $8$ есть множители: $2$ и $4$ .

$2 \cdot 4$

Этап 3.4.2

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 3.5

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2$

Этап 3.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8$

Этап 3.6

Множителем $t + 4$ является само значение $t + 4$ .

$(t + 4) = t + 4$

$(t + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.7

Множителем $t - 4$ является само значение $t - 4$ .

$(t - 4) = t - 4$

$(t - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.8

НОК $t + 4, t - 4, t - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(t + 4) (t - 4)$

Этап 3.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$8 (t + 4) (t - 4)$

Этап 4

Каждый член в $\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$ умножим на $8 (t + 4) (t - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$ на $8 (t + 4) (t - 4)$ .

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} (8 (t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 \frac{8}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.2.2

Умножим $8 \frac{8}{(t + 4) (t - 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим $8$ и $\frac{8}{(t + 4) (t - 4)}$ .

$\frac{8 \cdot 8}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.2.2.2

Умножим $8$ на $8$ .

$\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $(t + 4) (t - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$64 = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$64 = 8 \frac{1}{t - 4} ((t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3.1.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{t - 4}$ .

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3.1.3

Сократим общий множитель $t - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Вынесем множитель $t - 4$ из $(t + 4) (t - 4)$ .

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t - 4) (t + 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t - 4) (t + 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$64 = 8 (t + 4) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$64 = 8 t + 8 \cdot 4 + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3.1.5

Умножим $8$ на $4$ .

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3.1.6

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.1

Вынесем множитель $8$ из $8 (t + 4) (t - 4)$ .

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 ((t + 4) (t - 4)))$

Этап 4.3.1.6.2

Сократим общий множитель.

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 ((t + 4) (t - 4)))$

Этап 4.3.1.6.3

Перепишем это выражение.

$64 = 8 t + 32 + (t + 4) (t - 4)$

Этап 4.3.1.7

Развернем $(t + 4) (t - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$64 = 8 t + 32 + t (t - 4) + 4 (t - 4)$

Этап 4.3.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 (t - 4)$

Этап 4.3.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 t + 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.1.8

Объединим противоположные члены в $t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 t + 4 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.8.1

Изменим порядок множителей в членах $t \cdot - 4$ и $4 t$ .

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t - 4 t + 4 t + 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.1.8.2

Добавим $- 4 t$ и $4 t$ .

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + 0 + 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.1.8.3

Добавим $t \cdot t$ и $0$ .

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.9.1

Умножим $t$ на $t$ .

$64 = 8 t + 32 + t^{2} + 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.1.9.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$64 = 8 t + 32 + t^{2} - 16$

Этап 4.3.2

Вычтем $16$ из $32$ .

$64 = 8 t + t^{2} + 16$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $8 t + t^{2} + 16 = 64$ .

$8 t + t^{2} + 16 = 64$

Этап 5.2

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$8 t + t^{2} + 16 - 64 = 0$

Этап 5.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$8 t + t^{2} - 48 = 0$

Этап 5.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Пусть $u = t$ . Подставим $u$ вместо $t$ для всех.

$8 u + u^{2} - 48 = 0$

Этап 5.4.2

Разложим $8 u + u^{2} - 48$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 48$ , а сумма — $8$ .

$- 4, 12$

Этап 5.4.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u + 12) = 0$

Этап 5.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $t$ .

$(t - 4) (t + 12) = 0$

Этап 5.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t - 4 = 0$

$t + 12 = 0$

Этап 5.6

Приравняем $t - 4$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $t - 4$ к $0$ .

$t - 4 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$t = 4$

Этап 5.7

Приравняем $t + 12$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $t + 12$ к $0$ .

$t + 12 = 0$

Этап 5.7.2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$t = - 12$

Этап 5.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(t - 4) (t + 12) = 0$ верно.

$t = 4, - 12$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $\frac{8}{t^{2} - 16} - \frac{1}{8} = \frac{1}{t - 4}$ истинным.

$t = - 12$