Основы алгебры Примеры

\frac{8}{t^{2} - 16} - \frac{1}{8} = \frac{1}{t - 4}

$\frac{8}{t^{2} - 16} - \frac{1}{8} = \frac{1}{t - 4}$

Этап 1

Добавим

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ к обеим частям уравнения.

\frac{8}{t^{2} - 16} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}

$\frac{8}{t^{2} - 16} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

Этап 2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем

16

$16$ в виде

4^{2}

$4^{2}$ .

\frac{8}{t^{2} - 4^{2}} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}

$\frac{8}{t^{2} - 4^{2}} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = t

$a = t$ и

b = 4

$b = 4$ .

\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

(t + 4) (t - 4), t - 4, 8

$(t + 4) (t - 4), t - 4, 8$

Этап 3.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.3

Число

1

$1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.4

Простыми множителями

8

$8$ являются

2 \cdot 2 \cdot 2

$2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

8

$8$ есть множители:

2

$2$ и

4

$4$ .

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$

Этап 3.4.2

4

$4$ есть множители:

2

$2$ и

2

$2$ .

2 \cdot 2 \cdot 2

$2 \cdot 2 \cdot 2$

2 \cdot 2 \cdot 2

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 3.5

Умножим

2 \cdot 2 \cdot 2

$2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

4 \cdot 2

$4 \cdot 2$

Этап 3.5.2

Умножим

4

$4$ на

2

$2$ .

8

$8$

8

$8$

Этап 3.6

Множителем

t + 4

$t + 4$ является само значение

t + 4

$t + 4$ .

(t + 4) = t + 4

$(t + 4) = t + 4$

(t + 4)

$(t + 4)$ встречается

1

$1$ раз.

Этап 3.7

Множителем

t - 4

$t - 4$ является само значение

t - 4

$t - 4$ .

(t - 4) = t - 4

$(t - 4) = t - 4$

(t - 4)

$(t - 4)$ встречается

1

$1$ раз.

Этап 3.8

НОК

t + 4, t - 4, t - 4

$t + 4, t - 4, t - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

(t + 4) (t - 4)

$(t + 4) (t - 4)$

Этап 3.9

Наименьшее общее кратное

LCM

$LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

8 (t + 4) (t - 4)

$8 (t + 4) (t - 4)$

8 (t + 4) (t - 4)

$8 (t + 4) (t - 4)$

Этап 4

Каждый член в

\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$ умножим на

8 (t + 4) (t - 4)

$8 (t + 4) (t - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член

\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$ на

8 (t + 4) (t - 4)

$8 (t + 4) (t - 4)$ .

\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} (8 (t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} (8 (t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

8 \frac{8}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))

$8 \frac{8}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.2.2

Умножим

8 \frac{8}{(t + 4) (t - 4)}

$8 \frac{8}{(t + 4) (t - 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим

8

$8$ и

\frac{8}{(t + 4) (t - 4)}

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)}$ .

\frac{8 \cdot 8}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))

$\frac{8 \cdot 8}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.2.2.2

Умножим

8

$8$ на

8

$8$ .

\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))

$\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))

$\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель

(t + 4) (t - 4)

$(t + 4) (t - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$64 = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$64 = 8 \frac{1}{t - 4} ((t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3.1.2

Объединим

$8$ и

$\frac{1}{t - 4}$ .

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3.1.3

Сократим общий множитель

$t - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Вынесем множитель

$t - 4$ из

$(t + 4) (t - 4)$ .

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t - 4) (t + 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t - 4) (t + 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$64 = 8 (t + 4) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$64 = 8 t + 8 \cdot 4 + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3.1.5

Умножим

$8$ на

$4$ .

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Этап 4.3.1.6

Сократим общий множитель

$8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.1

Вынесем множитель

$8$ из

$8 (t + 4) (t - 4)$ .

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 ((t + 4) (t - 4)))$

Этап 4.3.1.6.2

Сократим общий множитель.

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 ((t + 4) (t - 4)))$

Этап 4.3.1.6.3

Перепишем это выражение.

$64 = 8 t + 32 + (t + 4) (t - 4)$

Этап 4.3.1.7

Развернем

$(t + 4) (t - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$64 = 8 t + 32 + t (t - 4) + 4 (t - 4)$

Этап 4.3.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 (t - 4)$

Этап 4.3.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 t + 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.1.8

Объединим противоположные члены в

$t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 t + 4 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.8.1

Изменим порядок множителей в членах

$t \cdot - 4$ и

$4 t$ .

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t - 4 t + 4 t + 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.1.8.2

Добавим

$- 4 t$ и

$4 t$ .

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + 0 + 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.1.8.3

Добавим

$t \cdot t$ и

$0$ .

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.9.1

Умножим

$t$ на

$t$ .

$64 = 8 t + 32 + t^{2} + 4 \cdot - 4$

Этап 4.3.1.9.2

Умножим

$4$ на

$- 4$ .

$64 = 8 t + 32 + t^{2} - 16$

Этап 4.3.2

Вычтем

$16$ из

$32$ .

$64 = 8 t + t^{2} + 16$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде

$8 t + t^{2} + 16 = 64$ .

$8 t + t^{2} + 16 = 64$

Этап 5.2

Вычтем

$64$ из обеих частей уравнения.

$8 t + t^{2} + 16 - 64 = 0$

Этап 5.3

Вычтем

$64$ из

$16$ .

$8 t + t^{2} - 48 = 0$

Этап 5.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Пусть

$u = t$ . Подставим

$u$ вместо

$t$ для всех.

$8 u + u^{2} - 48 = 0$

Этап 5.4.2

Разложим

$8 u + u^{2} - 48$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Рассмотрим форму

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

$c$ , а сумма —

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

$- 48$ , а сумма —

$8$ .

$- 4, 12$

Этап 5.4.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u + 12) = 0$

Этап 5.4.3

Заменим все вхождения

$u$ на

$t$ .

$(t - 4) (t + 12) = 0$

Этап 5.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

$0$ , все выражение равно

$0$ .

$t - 4 = 0$

$t + 12 = 0$

Этап 5.6

Приравняем

$t - 4$ к

$0$ , затем решим относительно

$t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем

$t - 4$ к

$0$ .

$t - 4 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим

$4$ к обеим частям уравнения.

$t = 4$

Этап 5.7

Приравняем

$t + 12$ к

$0$ , затем решим относительно

$t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем

$t + 12$ к

$0$ .

$t + 12 = 0$

Этап 5.7.2

Вычтем

$12$ из обеих частей уравнения.

$t = - 12$

Этап 5.8

Окончательным решением являются все значения, при которых

$(t - 4) (t + 12) = 0$ верно.

$t = 4, - 12$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают

$\frac{8}{t^{2} - 16} - \frac{1}{8} = \frac{1}{t - 4}$ истинным.

$t = - 12$