Основы алгебры Примеры

$\frac{r - 13}{5} + \frac{9}{r} = \frac{1}{5}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$5, r, 5$

Этап 1.2

Since $5, r, 5$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $5, 1, 5$ then find LCM for the variable part $r^{1}$ .

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Поскольку $5$ не имеет множителей, кроме $1$ и $5$ .

$5$ — простое число

Этап 1.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.6

Поскольку $5$ не имеет множителей, кроме $1$ и $5$ .

$5$ — простое число

Этап 1.7

НОК $5, 1, 5$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$5$

Этап 1.8

Множителем $r^{1}$ является само значение $r$ .

$r^{1} = r$

$r$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

НОК $r^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$r$

Этап 1.10

НОК $5, r, 5$ представляет собой произведение числовой части $5$ и переменной части.

$5 r$

Этап 2

Каждый член в $\frac{r - 13}{5} + \frac{9}{r} = \frac{1}{5}$ умножим на $5 r$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{r - 13}{5} + \frac{9}{r} = \frac{1}{5}$ на $5 r$ .

$\frac{r - 13}{5} (5 r) + \frac{9}{r} (5 r) = \frac{1}{5} (5 r)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 \frac{r - 13}{5} r + \frac{9}{r} (5 r) = \frac{1}{5} (5 r)$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{r - 13}{5} r + \frac{9}{r} (5 r) = \frac{1}{5} (5 r)$

Этап 2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$(r - 13) r + \frac{9}{r} (5 r) = \frac{1}{5} (5 r)$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r \cdot r - 13 r + \frac{9}{r} (5 r) = \frac{1}{5} (5 r)$

Этап 2.2.1.4

Умножим $r$ на $r$ .

$r^{2} - 13 r + \frac{9}{r} (5 r) = \frac{1}{5} (5 r)$

Этап 2.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r^{2} - 13 r + 5 \frac{9}{r} r = \frac{1}{5} (5 r)$

Этап 2.2.1.6

Умножим $5 \frac{9}{r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Объединим $5$ и $\frac{9}{r}$ .

$r^{2} - 13 r + \frac{5 \cdot 9}{r} r = \frac{1}{5} (5 r)$

Этап 2.2.1.6.2

Умножим $5$ на $9$ .

$r^{2} - 13 r + \frac{45}{r} r = \frac{1}{5} (5 r)$

Этап 2.2.1.7

Сократим общий множитель $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$r^{2} - 13 r + \frac{45}{r} r = \frac{1}{5} (5 r)$

Этап 2.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$r^{2} - 13 r + 45 = \frac{1}{5} (5 r)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 r$ .

$r^{2} - 13 r + 45 = \frac{1}{5} (5 (r))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$r^{2} - 13 r + 45 = \frac{1}{5} (5 r)$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$r^{2} - 13 r + 45 = r$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $r$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $r$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} - 13 r + 45 - r = 0$

Этап 3.1.2

Вычтем $r$ из $- 13 r$ .

$r^{2} - 14 r + 45 = 0$

Этап 3.2

Разложим $r^{2} - 14 r + 45$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $45$ , а сумма — $- 14$ .

$- 9, - 5$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(r - 9) (r - 5) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$r - 9 = 0$

$r - 5 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $r - 9$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $r - 9$ к $0$ .

$r - 9 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$r = 9$

Этап 3.5

Приравняем $r - 5$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $r - 5$ к $0$ .

$r - 5 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$r = 5$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(r - 9) (r - 5) = 0$ верно.

$r = 9, 5$