Основы алгебры Примеры

${(x - 1)}^{\frac{2}{3}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ в виде ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} + {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ . Подставим $u$ вместо ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ для всех.

$u^{2} + u - 6 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} + u - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ к $0$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Этап 3.2

Решим ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$

Этап 3.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Этап 3.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Упростим ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 1)}^{1} = 2^{3}$

Этап 3.2.3.1.1.2

Упростим.

$x - 1 = 2^{3}$

Этап 3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x - 1 = 8$

Этап 3.2.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 8 + 1$

Этап 3.2.4.2

Добавим $8$ и $1$ .

$x = 9$

Этап 4

Приравняем ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3$ к $0$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Этап 4.2

Решим ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = - 3$

Этап 4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Упростим ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 1)}^{1} = {(- 3)}^{3}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Упростим.

$x - 1 = {(- 3)}^{3}$

Этап 4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$x - 1 = - 27$

Этап 4.2.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = - 27 + 1$

Этап 4.2.4.2

Добавим $- 27$ и $1$ .

$x = - 26$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$ верно.

$x = 9, - 26$