Основы алгебры Примеры

$\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x + 2} - \frac{6 x}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x + 2} - \frac{6 x}{x^{2} - 2^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x + 2} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 2, x + 2, (x + 2) (x - 2)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x - 2, x + 2, x + 2, x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 2) (x + 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x + 2} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ умножим на $(x - 2) (x + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x + 2} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ на $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{1}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) = \frac{3}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) = \frac{3}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x + 2 = \frac{3}{x + 2} ((x - 2) (x + 2)) - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x - 2) (x + 2)$ .

$x + 2 = \frac{3}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x + 2 = \frac{3}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x + 2 = 3 (x - 2) - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 2 = 3 x + 3 \cdot - 2 - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.3.1.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$x + 2 = 3 x - 6 - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.3.1.4

Сократим общий множитель $(x - 2) (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ в числитель.

$x + 2 = 3 x - 6 + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.3.1.4.2

Вынесем множитель $(x - 2) (x + 2)$ из $(x + 2) (x - 2)$ .

$x + 2 = 3 x - 6 + \frac{- 6 x}{(x - 2) (x + 2) (1)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.3.1.4.3

Сократим общий множитель.

$x + 2 = 3 x - 6 + \frac{- 6 x}{(x - 2) (x + 2) \cdot 1} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.3.1.4.4

Перепишем это выражение.

$x + 2 = 3 x - 6 - 6 x$

Этап 3.3.2

Вычтем $6 x$ из $3 x$ .

$x + 2 = - 3 x - 6$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$x + 2 + 3 x = - 6$

Этап 4.1.2

Добавим $x$ и $3 x$ .

$4 x + 2 = - 6$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 6 - 2$

Этап 4.2.2

Вычтем $2$ из $- 6$ .

$4 x = - 8$

Этап 4.3

Разделим каждый член $4 x = - 8$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $4 x = - 8$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим $- 8$ на $4$ .

$x = - 2$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x + 2} - \frac{6 x}{x^{2} - 4}$ истинным.

$Нет решения$