Основы алгебры Примеры

$\frac{1}{x + 9} + \frac{18}{x^{2} - 81} = 1$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{1}{x + 9} + \frac{18}{x^{2} - 9^{2}} = 1$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 9$ .

$\frac{1}{x + 9} + \frac{18}{(x + 9) (x - 9)} = 1$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 9, (x + 9) (x - 9), 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 9$ является само значение $x + 9$ .

$(x + 9) = x + 9$

$(x + 9)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 9$ является само значение $x - 9$ .

$(x - 9) = x - 9$

$(x - 9)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x + 9, x + 9, x - 9$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 9) (x - 9)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{x + 9} + \frac{18}{(x + 9) (x - 9)} = 1$ умножим на $(x + 9) (x - 9)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x + 9} + \frac{18}{(x + 9) (x - 9)} = 1$ на $(x + 9) (x - 9)$ .

$\frac{1}{x + 9} ((x + 9) (x - 9)) + \frac{18}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (x - 9)) = 1 ((x + 9) (x - 9))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x + 9} ((x + 9) (x - 9)) + \frac{18}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (x - 9)) = 1 ((x + 9) (x - 9))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x - 9 + \frac{18}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (x - 9)) = 1 ((x + 9) (x - 9))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $(x + 9) (x - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x - 9 + \frac{18}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (x - 9)) = 1 ((x + 9) (x - 9))$

Этап 3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x - 9 + 18 = 1 ((x + 9) (x - 9))$

Этап 3.2.2

Добавим $- 9$ и $18$ .

$x + 9 = 1 ((x + 9) (x - 9))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $(x + 9) (x - 9)$ на $1$ .

$x + 9 = (x + 9) (x - 9)$

Этап 3.3.2

Развернем $(x + 9) (x - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 9 = x (x - 9) + 9 (x - 9)$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 9 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 (x - 9)$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 9 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 x + 9 \cdot - 9$

Этап 3.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 x + 9 \cdot - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 9$ и $9 x$ .

$x + 9 = x \cdot x - 9 x + 9 x + 9 \cdot - 9$

Этап 3.3.3.1.2

Добавим $- 9 x$ и $9 x$ .

$x + 9 = x \cdot x + 0 + 9 \cdot - 9$

Этап 3.3.3.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$x + 9 = x \cdot x + 9 \cdot - 9$

Этап 3.3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 9 = x^{2} + 9 \cdot - 9$

Этап 3.3.3.2.2

Умножим $9$ на $- 9$ .

$x + 9 = x^{2} - 81$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x + 9 - x^{2} = - 81$

Этап 4.2

Добавим $81$ к обеим частям уравнения.

$x + 9 - x^{2} + 81 = 0$

Этап 4.3

Добавим $9$ и $81$ .

$x - x^{2} + 90 = 0$

Этап 4.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x - x^{2} + 90$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Изменим порядок $x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 90 = 0$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 90 = 0$

Этап 4.4.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 90 = 0$

Этап 4.4.1.4

Перепишем $90$ в виде $- 1 (- 90)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 90 = 0$

Этап 4.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 90 = 0$

Этап 4.4.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (- 90)$ .

$- (x^{2} - x - 90) = 0$

Этап 4.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разложим $x^{2} - x - 90$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 90$ , а сумма — $- 1$ .

$- 10, 9$

Этап 4.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 10) (x + 9)) = 0$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 10) (x + 9) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 9 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 4.7

Приравняем $x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x + 9$ к $0$ .

$x + 9 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 10) (x + 9) = 0$ верно.

$x = 10, - 9$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{1}{x + 9} + \frac{18}{x^{2} - 81} = 1$ истинным.

$x = 10$