Основы алгебры Примеры

$\frac{1}{42^{2}} = \frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{42^{2}}$ .

$\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{42^{2}}$

Этап 2

Возведем $42$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 x, 4 x^{2}, 1764$

Этап 3.2

Since $4 x, 4 x^{2}, 1764$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 4, 1764$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

Этап 3.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 3.5

Простыми множителями $1764$ являются $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

У $1764$ есть множители: $2$ и $882$ .

$2 \cdot 882$

Этап 3.5.2

У $882$ есть множители: $2$ и $441$ .

$2 \cdot 2 \cdot 441$

Этап 3.5.3

У $441$ есть множители: $3$ и $147$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 147$

Этап 3.5.4

У $147$ есть множители: $3$ и $49$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 49$

Этап 3.5.5

У $49$ есть множители: $7$ и $7$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

Этап 3.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

Этап 3.6.2

Умножим $4$ на $3$ .

$12 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

Этап 3.6.3

Умножим $12$ на $3$ .

$36 \cdot 7 \cdot 7$

Этап 3.6.4

Умножим $36$ на $7$ .

$252 \cdot 7$

Этап 3.6.5

Умножим $252$ на $7$ .

$1764$

Этап 3.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 3.8

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 3.9

НОК $x^{1}, x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 3.10

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 3.11

НОК $4 x, 4 x^{2}, 1764$ представляет собой произведение числовой части $1764$ и переменной части.

$1764 x^{2}$

Этап 4

Каждый член в $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$ умножим на $1764 x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$ на $1764 x^{2}$ .

$\frac{1}{4 x} (1764 x^{2}) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1764 \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $1764$ .

$4 (441) \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$4 (441) \frac{1}{4 (x)} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 441 \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$441 \frac{1}{x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.3

Объединим $441$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{441}{x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{441}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{441}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$441 x + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$441 x + 1764 \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $1764$ .

$441 x + 4 (441) \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$441 x + 4 (441) \frac{5}{4 (x^{2})} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$441 x + 4 \cdot 441 \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$441 x + 441 \frac{5}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.7

Объединим $441$ и $\frac{5}{x^{2}}$ .

$441 x + \frac{441 \cdot 5}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.8

Умножим $441$ на $5$ .

$441 x + \frac{2205}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.9

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.9.1

Сократим общий множитель.

$441 x + \frac{2205}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.2.1.9.2

Перепишем это выражение.

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $1764$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $1764$ из $1764 x^{2}$ .

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 (x^{2}))$

Этап 4.3.1.2

Сократим общий множитель.

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Этап 4.3.1.3

Перепишем это выражение.

$441 x + 2205 = x^{2}$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$441 x + 2205 - x^{2} = 0$

Этап 5.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 441$ и $c = 2205$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 441 \pm \sqrt{441^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 2205)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Возведем $441$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 - 4 \cdot - 1 \cdot 2205}}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 2205$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 + 4 \cdot 2205}}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.4.1.2.2

Умножим $4$ на $2205$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 + 8820}}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.4.1.3

Добавим $194481$ и $8820$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{203301}}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.4.1.4

Перепишем $203301$ в виде $21^{2} \cdot 461$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1

Вынесем множитель $441$ из $203301$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{441 (461)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.4.1.4.2

Перепишем $441$ в виде $21^{2}$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{21^{2} \cdot 461}}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{- 2}$

Этап 5.4.3

Упростим $\frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{- 2}$ .

$x = \frac{441 \pm 21 \sqrt{461}}{2}$

Этап 5.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{441 + 21 \sqrt{461}}{2}, \frac{441 - 21 \sqrt{461}}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{441 + 21 \sqrt{461}}{2}, \frac{441 - 21 \sqrt{461}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 445.94456081 \dots, - 4.94456081 \dots$