Основы алгебры Примеры

$\frac{7 x}{3 x^{2} - 2 x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$\frac{7 x}{3 x^{2} - 2 (x) - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1.1.1.2

Запишем $- 2$ как $6$ плюс $- 8$

$\frac{7 x}{3 x^{2} + (6 - 8) x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 x}{3 x^{2} + 6 x - 8 x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{7 x}{(3 x^{2} + 6 x) - 8 x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{7 x}{3 x (x + 2) - 8 (x + 2)} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 2$ .

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ .

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{7 x (x - 1)}{(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$ на $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ .

$\frac{7 x (x - 1)}{(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)} - \frac{2 x (3 x - 8)}{(x - 1) (x + 2) (3 x - 8)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)$ .

$\frac{7 x (x - 1)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)} - \frac{2 x (3 x - 8)}{(x - 1) (x + 2) (3 x - 8)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + 2) (3 x - 8)$ .

$\frac{7 x (x - 1)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)} - \frac{2 x (3 x - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 x (x - 1) - 2 x (3 x - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x (x - 1) - 2 x (3 x - 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x (x - 1)$ .

$\frac{x (7 (x - 1)) - 2 x (3 x - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x (3 x - 8)$ .

$\frac{x (7 (x - 1)) + x (- 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (7 (x - 1)) + x (- 2 (3 x - 8))$ .

$\frac{x (7 (x - 1) - 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (7 x + 7 \cdot - 1 - 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.3

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{x (7 x - 7 - 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (7 x - 7 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.5

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{x (7 x - 7 - 6 x - 2 \cdot - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.6

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$\frac{x (7 x - 7 - 6 x + 16)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.7

Вычтем $6 x$ из $7 x$ .

$\frac{x (x - 7 + 16)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 6.8

Добавим $- 7$ и $16$ .

$\frac{x (x + 9)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$