Основы алгебры Примеры

$\frac{8}{x^{2} - 36} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 36}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{8}{x^{2} - 6^{2}} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 36}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 6$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 36}$

Этап 1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 6^{2}}$

Этап 1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Этап 1.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}}$

Этап 1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 6$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{8}{(x + 6) (x - 6)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 6) {(x + 6)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{8}{(x + 6) (x - 6)}$ на $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{8 (x + 6)}{(x + 6) (x - 6) (x + 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Этап 4.2

Возведем $x + 6$ в степень $1$ .

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{1} (x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Этап 4.3

Возведем $x + 6$ в степень $1$ .

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{1} {(x + 6)}^{1} (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{1 + 1} (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Этап 4.6

Умножим $\frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$ на $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)} - \frac{2 (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 (x + 6) - 2 (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $2$ из $8 (x + 6) - 2 (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 (x + 6)$ .

$\frac{2 (4 (x + 6)) - 2 (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (x - 6)$ .

$\frac{2 (4 (x + 6)) + 2 (- (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 (x + 6)) + 2 (- (x - 6))$ .

$\frac{2 (4 (x + 6) - (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (4 x + 4 \cdot 6 - (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Этап 6.3

Умножим $4$ на $6$ .

$\frac{2 (4 x + 24 - (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (4 x + 24 - x - - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Этап 6.5

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$\frac{2 (4 x + 24 - x + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Этап 6.6

Вычтем $x$ из $4 x$ .

$\frac{2 (3 x + 24 + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Этап 6.7

Добавим $24$ и $6$ .

$\frac{2 (3 x + 30)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Этап 6.8

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{2 (3 (x) + 30)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Этап 6.8.2

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$\frac{2 (3 x + 3 \cdot 10)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Этап 6.8.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot 10$ .

$\frac{2 (3 (x + 10))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

$\frac{2 \cdot 3 (x + 10)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Этап 6.9

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 (x + 10)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$