Основы алгебры Примеры

$\frac{8 x v}{x^{2} - 4 v^{2}} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4 v^{2}$ в виде ${(2 v)}^{2}$ .

$\frac{8 x v}{x^{2} - {(2 v)}^{2}} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2 v$ .

$\frac{8 x v}{(x + 2 v) (x - (2 v))} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v}$

Этап 1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{8 x v}{(x + 2 v) (x - 2 v)} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x - 2 v}{x + 2 v}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2 v}{x - 2 v}$ .

$\frac{8 x v}{(x + 2 v) (x - 2 v)} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v} \cdot \frac{x - 2 v}{x - 2 v}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x - 2 v}{x + 2 v}$ на $\frac{x - 2 v}{x - 2 v}$ .

$\frac{8 x v}{(x + 2 v) (x - 2 v)} + \frac{(x - 2 v) (x - 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 x v + (x - 2 v) (x - 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(x - 2 v) (x - 2 v)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x v + x (x - 2 v) - 2 v (x - 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x v + x \cdot x + x (- 2 v) - 2 v (x - 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 x v + x \cdot x + x (- 2 v) - 2 v x - 2 v (- 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{8 x v + x^{2} + x (- 2 v) - 2 v x - 2 v (- 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x - 2 v (- 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x - 2 \cdot - 2 v \cdot v}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.2.1.4

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Перенесем $v$ .

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x - 2 \cdot - 2 (v \cdot v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.2.1.4.2

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x - 2 \cdot - 2 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.2.1.5

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.2.2

Вычтем $2 v x$ из $- 2 x v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 v x - 2 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $2 v x$ из $- 2 v x$ .

$\frac{8 x v + x^{2} - 4 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.3

Вычтем $4 v x$ из $8 x v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} + 8 v x - 4 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.3.2

Вычтем $4 v x$ из $8 v x$ .

$\frac{x^{2} + 4 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $4 v^{2}$ в виде ${(2 v)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 v x + {(2 v)}^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 v x = 2 \cdot x \cdot (2 v)$

Этап 4.4.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot (2 v) + {(2 v)}^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 4.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2 v$ .

$\frac{{(x + 2 v)}^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 5

Сократим общий множитель ${(x + 2 v)}^{2}$ и $x + 2 v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x + 2 v$ из ${(x + 2 v)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2 v) (x + 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 2 v) (x + 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 2 v}{x - 2 v}$