Основы алгебры Примеры

\frac{x - y}{x + y} - \frac{x + y}{x - y}

$\frac{x - y}{x + y} - \frac{x + y}{x - y}$

Этап 1

Чтобы записать

\frac{x - y}{x + y}

$\frac{x - y}{x + y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{x - y}{x - y}

$\frac{x - y}{x - y}$ .

\frac{x - y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x + y}{x - y}

$\frac{x - y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x + y}{x - y}$

Этап 2

Чтобы записать

- \frac{x + y}{x - y}

$- \frac{x + y}{x - y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{x + y}{x + y}

$\frac{x + y}{x + y}$ .

\frac{x - y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y}

$\frac{x - y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем

(x + y) (x - y)

$(x + y) (x - y)$ , умножив на подходящий множитель

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим

\frac{x - y}{x + y}

$\frac{x - y}{x + y}$ на

\frac{x - y}{x - y}

$\frac{x - y}{x - y}$ .

\frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y}

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y}$

Этап 3.2

Умножим

\frac{x + y}{x - y}

$\frac{x + y}{x - y}$ на

\frac{x + y}{x + y}

$\frac{x + y}{x + y}$ .

\frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{(x + y) (x + y)}{(x - y) (x + y)}

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{(x + y) (x + y)}{(x - y) (x + y)}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в

(x - y) (x + y)

$(x - y) (x + y)$ .

\frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{(x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{(x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

\frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{(x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{(x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{(x - y) (x - y) - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{(x - y) (x - y) - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем

x - y

$x - y$ в степень

1

$1$ .

\frac{{(x - y)}^{1} (x - y) - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{{(x - y)}^{1} (x - y) - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5.2

Возведем

x - y

$x - y$ в степень

1

$1$ .

\frac{{(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1} - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{{(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1} - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5.3

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\frac{{(x - y)}^{1 + 1} - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{{(x - y)}^{1 + 1} - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5.4

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\frac{{(x - y)}^{2} - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{{(x - y)}^{2} - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5.5

Перепишем

(x + y) (x + y)

$(x + y) (x + y)$ в виде

{(x + y)}^{2}

${(x + y)}^{2}$ .

\frac{{(x - y)}^{2} - {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)}

$\frac{{(x - y)}^{2} - {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = x - y

$a = x - y$ и

b = x + y

$b = x + y$ .

\frac{(x - y + x + y) (x - y - (x + y))}{(x + y) (x - y)}

$\frac{(x - y + x + y) (x - y - (x + y))}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Добавим

x

$x$ и

x

$x$ .

\frac{(2 x - y + y) (x - y - (x + y))}{(x + y) (x - y)}

$\frac{(2 x - y + y) (x - y - (x + y))}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5.7.2

Добавим

- y

$- y$ и

y

$y$ .

\frac{(2 x + 0) (x - y - (x + y))}{(x + y) (x - y)}

$\frac{(2 x + 0) (x - y - (x + y))}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5.7.3

Добавим

2 x

$2 x$ и

0

$0$ .

\frac{2 x (x - y - (x + y))}{(x + y) (x - y)}

$\frac{2 x (x - y - (x + y))}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{2 x (x - y - x - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{2 x (x - y - x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5.7.5

Вычтем

x

$x$ из

x

$x$ .

\frac{2 x (- y + 0 - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{2 x (- y + 0 - y)}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5.7.6

Добавим

- y

$- y$ и

0

$0$ .

\frac{2 x (- y - y)}{(x + y) (x - y)}

$\frac{2 x (- y - y)}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5.7.7

Вычтем

y

$y$ из

- y

$- y$ .

\frac{2 x \cdot - 2 y}{(x + y) (x - y)}

$\frac{2 x \cdot - 2 y}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5.7.8

Умножим

- 2

$- 2$ на

2

$2$ .

\frac{- 4 x y}{(x + y) (x - y)}

$\frac{- 4 x y}{(x + y) (x - y)}$

\frac{- 4 x y}{(x + y) (x - y)}

$\frac{- 4 x y}{(x + y) (x - y)}$

\frac{- 4 x y}{(x + y) (x - y)}

$\frac{- 4 x y}{(x + y) (x - y)}$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

- \frac{4 x y}{(x + y) (x - y)}

$- \frac{4 x y}{(x + y) (x - y)}$