Основы алгебры Примеры

$\frac{x + 3}{x^{2} - 2 x - 8} - \frac{x - 5}{x^{2} - 12 x + 32}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} - \frac{x - 5}{x^{2} - 12 x + 32}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} - 12 x + 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $32$ , а сумма — $- 12$ .

$- 8, - 4$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 4) (x + 2) (x - 8)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)}$ на $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x - 4) (x + 2) (x - 8)} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x - 4) (x + 2) (x - 8)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 8) (x - 4) (x + 2)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 4) (x + 2) (x - 8)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 8) (x - 4) (x + 2)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(x - 8) (x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 3) (x - 8) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(x + 3) (x - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x - 8) + 3 (x - 8) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 8 + 3 (x - 8) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 8 + 3 x + 3 \cdot - 8 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 8 + 3 x + 3 \cdot - 8 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.2.1.2

Перенесем $- 8$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 8 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 8 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $3$ на $- 8$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 3 x - 24 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.2.2

Добавим $- 8 x$ и $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 + (- x - - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 + (- x + 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.5

Развернем $(- x + 5) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x (x + 2) + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.6.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.6.1.3

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} - 2 x + 5 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.6.2

Добавим $- 2 x$ и $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.7

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- 5 x - 24 + 0 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.8

Добавим $- 5 x$ и $0$ .

$\frac{- 5 x - 24 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.9

Добавим $- 5 x$ и $3 x$ .

$\frac{- 2 x - 24 + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.10

Добавим $- 24$ и $10$ .

$\frac{- 2 x - 14}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.11

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 14}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.11.2

Вынесем множитель $2$ из $- 14$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 6.11.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (- 7)$ .

$\frac{2 (- x - 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 7.2

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (7))}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (7)$ .

$\frac{2 (- (x + 7))}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 7.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перепишем $- (x + 7)$ в виде $- 1 (x + 7)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 7))}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Этап 7.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (x + 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$