Основы алгебры Примеры

$\frac{x - 2}{x - 8} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{x^{2} - 12 x + 32}$

Этап 1

Разложим $x^{2} - 12 x + 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $32$ , а сумма — $- 12$ .

$- 8, - 4$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x - 2}{x - 8} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x - 2}{x - 8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{x - 2}{x - 8} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{3 x}{4 - x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x - 2}{x - 8} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{3 x}{4 - x} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 8) (4 - x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{x - 2}{x - 8}$ на $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(x - 8) (4 - x)} - \frac{3 x}{4 - x} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{3 x}{4 - x}$ на $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(x - 8) (4 - x)} - \frac{3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 8) (4 - x)$ .

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(4 - x) (x - 8)} - \frac{3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 2) (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(x - 2) (4 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (4 - x) - 2 (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 4 + x (- x) - 2 (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 4 + x (- x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{4 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x - x \cdot x - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 8 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 8 + 2 x - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.2.2

Добавим $4 x$ и $2 x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.5

Умножим $- 8$ на $- 3$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x^{2} + 24 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.6

Добавим $6 x$ и $24 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 - 3 x^{2} + 30 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.7

Вычтем $3 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 8 + 30 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.8

Изменим порядок членов.

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.9

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{2} + 30 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 30 x - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.9.2

Вынесем множитель $2$ из $30 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.9.3

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 (- 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.9.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x) + 2 (- 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 6.9.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x^{2} + 15 x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x) - 4)}$

Этап 7.2

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x) - 1 (4))}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - 1 (4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x + 4))}$

Этап 7.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перенесем знак минус из знаменателя $\frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x + 4))}$ в числитель.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(x - 8) (- x + 4)}$

Этап 7.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(- x + 4) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(x - 8) (- x + 4)}$

Этап 7.4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 8) (- x + 4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(- x + 4) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4) - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 (15 x) + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.2.2

Умножим $15$ на $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.2.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - x^{2} - - 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.4

Умножим $- 1$ на $- 88$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - x^{2} + 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.5

Вычтем $x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 30 x - 8 + 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.6

Добавим $- 8$ и $88$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 30 x + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.7

Перепишем $- 5 x^{2} + 30 x + 80$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x^{2} + 30 x + 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x^{2}$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 30 x + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.7.1.2

Вынесем множитель $5$ из $30 x$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (6 x) + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.7.1.3

Вынесем множитель $5$ из $80$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (6 x) + 5 (16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.7.1.4

Вынесем множитель $5$ из $5 (- x^{2}) + 5 (6 x)$ .

$\frac{5 (- x^{2} + 6 x) + 5 (16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.7.1.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (- x^{2} + 6 x) + 5 (16)$ .

$\frac{5 (- x^{2} + 6 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.7.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ , а сумма — $b = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$\frac{5 (- x^{2} + 6 (x) + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.7.2.1.2

Запишем $6$ как $- 2$ плюс $8$

$\frac{5 (- x^{2} + (- 2 + 8) x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.7.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (- x^{2} - 2 x + 8 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{5 ((- x^{2} - 2 x) + 8 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.7.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{5 (x (- x - 2) - 8 (- x - 2))}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 8.7.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 2$ .

$\frac{5 ((- x - 2) (x - 8))}{(- x + 4) (x - 8)}$

$\frac{5 (- x - 2) (x - 8)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- x - 2) (x - 8)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Этап 9.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 (- x - 2)}{- x + 4}$

Этап 9.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{5 (- (x) - 2)}{- x + 4}$

Этап 9.3

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{5 (- (x) - 1 (2))}{- x + 4}$

Этап 9.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{5 (- (x + 2))}{- x + 4}$

Этап 9.5

Перепишем $- (x + 2)$ в виде $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- x + 4}$

Этап 9.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x) + 4}$

Этап 9.7

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x) - 1 (- 4)}$

Этап 9.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x - 4)}$

Этап 9.9

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- 1 (x - 4)}$

Этап 9.10

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- 1 (x - 4)}$

Этап 9.11

Перепишем это выражение.

$\frac{5 (x + 2)}{x - 4}$