Основы алгебры Примеры

$\frac{2}{y^{2} - 3 y + 2} + \frac{5}{y^{2} - 1}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $y^{2} - 3 y + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2}{(y - 2) (y - 1)} + \frac{5}{y^{2} - 1}$

Этап 1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2}{(y - 2) (y - 1)} + \frac{5}{y^{2} - 1^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$\frac{2}{(y - 2) (y - 1)} + \frac{5}{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{2}{(y - 2) (y - 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{2}{(y - 2) (y - 1)} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} + \frac{5}{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{5}{(y + 1) (y - 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{2}{(y - 2) (y - 1)} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} + \frac{5}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(y - 2) (y - 1) (y + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{2}{(y - 2) (y - 1)}$ на $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{2 (y + 1)}{(y - 2) (y - 1) (y + 1)} + \frac{5}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{5}{(y + 1) (y - 1)}$ на $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{2 (y + 1)}{(y - 2) (y - 1) (y + 1)} + \frac{5 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(y - 2) (y - 1) (y + 1)$ .

$\frac{2 (y + 1)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)} + \frac{5 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (y + 1) + 5 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 y + 2 \cdot 1 + 5 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 y + 2 + 5 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 y + 2 + 5 y + 5 \cdot - 2}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

Этап 6.4

Умножим $5$ на $- 2$ .

$\frac{2 y + 2 + 5 y - 10}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

Этап 6.5

Добавим $2 y$ и $5 y$ .

$\frac{7 y + 2 - 10}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

Этап 6.6

Вычтем $10$ из $2$ .

$\frac{7 y - 8}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$