Основы алгебры Примеры

$\frac{2}{3 x^{2} - 20 x + 32} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 x + 16}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 32 = 96$ , а сумма — $b = - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $- 20$ из $- 20 x$ .

$\frac{2}{3 x^{2} - 20 (x) + 32} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 x + 16}$

Этап 1.1.1.2

Запишем $- 20$ как $- 8$ плюс $- 12$

$\frac{2}{3 x^{2} + (- 8 - 12) x + 32} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 x + 16}$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{3 x^{2} - 8 x - 12 x + 32} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 x + 16}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{2}{(3 x^{2} - 8 x) - 12 x + 32} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 x + 16}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2}{x (3 x - 8) - 4 (3 x - 8)} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 x + 16}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 8$ .

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 x + 16}$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 16 = 48$ , а сумма — $b = - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- 14$ из $- 14 x$ .

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 (x) + 16}$

Этап 1.2.1.2

Запишем $- 14$ как $- 6$ плюс $- 8$

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} + \frac{1}{3 x^{2} + (- 6 - 8) x + 16}$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} + \frac{1}{3 x^{2} - 6 x - 8 x + 16}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} + \frac{1}{(3 x^{2} - 6 x) - 8 x + 16}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} + \frac{1}{3 x (x - 2) - 8 (x - 2)}$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 2$ .

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} + \frac{1}{(x - 2) (3 x - 8)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{1}{(x - 2) (3 x - 8)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{1}{(x - 2) (3 x - 8)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{1}{(x - 2) (3 x - 8)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(3 x - 8) (x - 4) (x - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(3 x - 8) (x - 4) (x - 2)} + \frac{1}{(x - 2) (3 x - 8)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{(x - 2) (3 x - 8)}$ на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(3 x - 8) (x - 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{(x - 2) (3 x - 8) (x - 4)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(3 x - 8) (x - 4) (x - 2)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)} + \frac{x - 4}{(x - 2) (3 x - 8) (x - 4)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(x - 2) (3 x - 8) (x - 4)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)} + \frac{x - 4}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (x - 2) + x - 4}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2 + x - 4}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{2 x - 4 + x - 4}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)}$

Этап 6.3

Добавим $2 x$ и $x$ .

$\frac{3 x - 4 - 4}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)}$

Этап 6.4

Вычтем $4$ из $- 4$ .

$\frac{3 x - 8}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $3 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x - 8}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(x - 2) (x - 4)}$