Основы алгебры Примеры

$\frac{a^{2} - 36}{4 a^{2} + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 6^{2}}{4 a^{2} + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = 6$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a^{2} + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Этап 2

Вынесем множитель $4 a$ из $4 a^{2} + 4 a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $4 a$ из $4 a^{2}$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a) + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $4 a$ из $4 a b$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a) + 4 a (b)} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $4 a$ из $4 a (a) + 4 a (b)$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a^{2} + 2 a) + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Этап 3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{a (a + 2) + b (a + 2)}{a^{2} + 8 a + 12}$

Этап 3.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $a + 2$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{a^{2} + 8 a + 12}$

Этап 4

Разложим $a^{2} + 8 a + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $8$ .

$2, 6$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{(a + 2) (a + 6)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $a + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $a + 6$ из $(a + 2) (a + 6)$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{(a + 6) (a + 2)}$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{(a + 6) (a + 2)}$

Этап 5.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{a - 6}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{a + 2}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $a + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $a + b$ из $4 a (a + b)$ .

$\frac{a - 6}{(a + b) (4 a)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{a + 2}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $a + b$ из $(a + 2) (a + b)$ .

$\frac{a - 6}{(a + b) (4 a)} \cdot \frac{(a + b) (a + 2)}{a + 2}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{a - 6}{(a + b) (4 a)} \cdot \frac{(a + b) (a + 2)}{a + 2}$

Этап 5.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{a - 6}{4 a} \cdot \frac{a + 2}{a + 2}$

Этап 5.3

Умножим $\frac{a - 6}{4 a}$ на $\frac{a + 2}{a + 2}$ .

$\frac{(a - 6) (a + 2)}{4 a (a + 2)}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $a + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(a - 6) (a + 2)}{4 a (a + 2)}$

Этап 5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a - 6}{4 a}$