Основы алгебры Примеры

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ на $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ .

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.2

Умножим $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ на $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ .

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{{\sqrt{a}}^{2} - \sqrt{a b} + \sqrt{b a} - {\sqrt{b}}^{2}} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.4

Упростим.

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1} (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.5.2

Возведем $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1} {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1 + 1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.6

Перепишем ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}$ в виде $(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$ .

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.7

Развернем $(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} - \sqrt{b}) - \sqrt{b} (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Умножим $\sqrt{a} \sqrt{a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1.1

Возведем $\sqrt{a}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.1.2

Возведем $\sqrt{a}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sqrt{a}}^{1 + 1} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.2

Перепишем ${\sqrt{a}}^{2}$ в виде $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{a}$ в виде $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.2.5

Упростим.

$\frac{a + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{a - \sqrt{a} \sqrt{b} - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.6

Умножим $- \sqrt{b} (- \sqrt{b})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + 1 \sqrt{b} \sqrt{b}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.6.2

Умножим $\sqrt{b}$ на $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.6.3

Возведем $\sqrt{b}$ в степень $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{1} \sqrt{b}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.6.4

Возведем $\sqrt{b}$ в степень $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{1} {\sqrt{b}}^{1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{1 + 1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{2}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.7

Перепишем ${\sqrt{b}}^{2}$ в виде $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{b}$ в виде $b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {(b^{\frac{1}{2}})}^{2}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{\frac{2}{2}}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{\frac{2}{2}}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.1.7.5

Упростим.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.2

Вычтем $\sqrt{a b}$ из $- \sqrt{b a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Изменим порядок $b$ и $a$ .

$\frac{a - \sqrt{a b} - \sqrt{a b} + b}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 1.8.2.2

Вычтем $\sqrt{a b}$ из $- \sqrt{a b}$ .

$\frac{a - 2 \sqrt{a b} + b}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a - 2 \sqrt{a b} + b + a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Этап 2.2

Объединим противоположные члены в $a - 2 \sqrt{a b} + b + a + 2 \sqrt{a b} + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $- 2 \sqrt{a b}$ и $2 \sqrt{a b}$ .

$\frac{a + b + a + 0 + b}{a - b}$

Этап 2.2.2

Добавим $a + b + a$ и $0$ .

$\frac{a + b + a + b}{a - b}$

Этап 2.3

Добавим $a$ и $a$ .

$\frac{2 a + b + b}{a - b}$

Этап 2.4

Добавим $b$ и $b$ .

$\frac{2 a + 2 b}{a - b}$

Этап 2.5

Вынесем множитель $2$ из $2 a + 2 b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 a$ .

$\frac{2 (a) + 2 b}{a - b}$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $2 b$ .

$\frac{2 (a) + 2 (b)}{a - b}$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (a) + 2 (b)$ .

$\frac{2 (a + b)}{a - b}$