Основы алгебры Примеры

$\frac{x^{2} - 16}{9} \cdot \frac{x^{2} - x - 12}{x^{2} - 8 x + 16}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{9} \cdot \frac{x^{2} - x - 12}{x^{2} - 8 x + 16}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{9} \cdot \frac{x^{2} - x - 12}{x^{2} - 8 x + 16}$

Этап 2

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{9} \cdot \frac{(x - 4) (x + 3)}{x^{2} - 8 x + 16}$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{9} \cdot \frac{(x - 4) (x + 3)}{x^{2} - 8 x + 4^{2}}$

Этап 3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 3.3

Перепишем многочлен.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{9} \cdot \frac{(x - 4) (x + 3)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{9} \cdot \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\frac{(x + 4) (x - 4) ((x - 4) (x + 3))}{9 {(x - 4)}^{2}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x - 4$ и ${(x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x - 4$ из $(x + 4) (x - 4) ((x - 4) (x + 3))$ .

$\frac{(x - 4) ((x + 4) ((x - 4) (x + 3)))}{9 {(x - 4)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $x - 4$ из $9 {(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{(x - 4) ((x + 4) ((x - 4) (x + 3)))}{(x - 4) (9 (x - 4))}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 4) ((x + 4) ((x - 4) (x + 3)))}{(x - 4) (9 (x - 4))}$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 4) ((x - 4) (x + 3))}{9 (x - 4)}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 4) ((x - 4) (x + 3))}{9 (x - 4)}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 4) (x + 3)}{9}$