Основы алгебры Примеры

$\frac{3 y^{2} \cdot (13 y) + 4}{y^{2} - 16} \div \frac{4 y^{2} - 1}{2 y^{2} - 9 y + 4}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{3 y^{2} \cdot (13 y) + 4}{y^{2} - 16} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 \cdot 13 y^{2} y + 4}{y^{2} - 16} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Этап 2.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{3 \cdot 13 (y \cdot y^{2}) + 4}{y^{2} - 16} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Этап 2.2.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{3 \cdot 13 (y^{1} y^{2}) + 4}{y^{2} - 16} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Этап 2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \cdot 13 y^{1 + 2} + 4}{y^{2} - 16} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Этап 2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3 \cdot 13 y^{3} + 4}{y^{2} - 16} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $13$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{y^{2} - 16} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{y^{2} - 4^{2}} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 4$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 y$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} - 9 (y) + 4}{4 y^{2} - 1}$

Этап 4.1.2

Запишем $- 9$ как $- 1$ плюс $- 8$

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + (- 1 - 8) y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} - 1 y - 8 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y^{2} - 1 y) - 8 y + 4}{4 y^{2} - 1}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{y (2 y - 1) - 4 (2 y - 1)}{4 y^{2} - 1}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 y - 1$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 4)}{4 y^{2} - 1}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $4 y^{2}$ в виде ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 4)}{{(2 y)}^{2} - 1}$

Этап 5.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 4)}{{(2 y)}^{2} - 1^{2}}$

Этап 5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 y$ и $b = 1$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 4)}{(2 y + 1) (2 y - 1)}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $y - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $y - 4$ из $(y + 4) (y - 4)$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y - 4) (y + 4)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 4)}{(2 y + 1) (2 y - 1)}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $y - 4$ из $(2 y - 1) (y - 4)$ .

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y - 4) (y + 4)} \cdot \frac{(y - 4) (2 y - 1)}{(2 y + 1) (2 y - 1)}$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y - 4) (y + 4)} \cdot \frac{(y - 4) (2 y - 1)}{(2 y + 1) (2 y - 1)}$

Этап 6.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{39 y^{3} + 4}{y + 4} \cdot \frac{2 y - 1}{(2 y + 1) (2 y - 1)}$

Этап 6.2

Умножим $\frac{39 y^{3} + 4}{y + 4}$ на $\frac{2 y - 1}{(2 y + 1) (2 y - 1)}$ .

$\frac{(39 y^{3} + 4) (2 y - 1)}{(y + 4) ((2 y + 1) (2 y - 1))}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $2 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(39 y^{3} + 4) (2 y - 1)}{(y + 4) ((2 y + 1) (2 y - 1))}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{39 y^{3} + 4}{(y + 4) (2 y + 1)}$