Основы алгебры Примеры

$\frac{4 m}{m + 1} - 2 = \frac{3 m}{{(m + 1)}^{2}}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$m + 1, 1, {(m + 1)}^{2}$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $m + 1$ является само значение $m + 1$ .

$(m + 1) = m + 1$

$(m + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множители $m + 1$ — это $(m + 1) \cdot (m + 1)$ , то есть $m + 1$ , умноженный на себя $2$ раз.

$(m + 1) = (m + 1) \cdot (m + 1)$

$(m + 1)$ встречается $2$ раз.

Этап 1.7

НОК $m + 1, {(m + 1)}^{2}$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

${(m + 1)}^{2}$

Этап 2

Каждый член в $\frac{4 m}{m + 1} - 2 = \frac{3 m}{{(m + 1)}^{2}}$ умножим на ${(m + 1)}^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{4 m}{m + 1} - 2 = \frac{3 m}{{(m + 1)}^{2}}$ на ${(m + 1)}^{2}$ .

$\frac{4 m}{m + 1} {(m + 1)}^{2} - 2 {(m + 1)}^{2} = \frac{3 m}{{(m + 1)}^{2}} {(m + 1)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $m + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $m + 1$ из ${(m + 1)}^{2}$ .

$\frac{4 m}{m + 1} ((m + 1) (m + 1)) - 2 {(m + 1)}^{2} = \frac{3 m}{{(m + 1)}^{2}} {(m + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 m}{m + 1} ((m + 1) (m + 1)) - 2 {(m + 1)}^{2} = \frac{3 m}{{(m + 1)}^{2}} {(m + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$4 m (m + 1) - 2 {(m + 1)}^{2} = \frac{3 m}{{(m + 1)}^{2}} {(m + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 m \cdot m + 4 m \cdot 1 - 2 {(m + 1)}^{2} = \frac{3 m}{{(m + 1)}^{2}} {(m + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.3

Умножим $m$ на $m$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Перенесем $m$ .

$4 (m \cdot m) + 4 m \cdot 1 - 2 {(m + 1)}^{2} = \frac{3 m}{{(m + 1)}^{2}} {(m + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.3.2

Умножим $m$ на $m$ .

$4 m^{2} + 4 m \cdot 1 - 2 {(m + 1)}^{2} = \frac{3 m}{{(m + 1)}^{2}} {(m + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4 m^{2} + 4 m - 2 {(m + 1)}^{2} = \frac{3 m}{{(m + 1)}^{2}} {(m + 1)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель ${(m + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$4 m^{2} + 4 m - 2 {(m + 1)}^{2} = \frac{3 m}{{(m + 1)}^{2}} {(m + 1)}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$4 m^{2} + 4 m - 2 {(m + 1)}^{2} = 3 m$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $m$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $3 m$ из обеих частей уравнения.

$4 m^{2} + 4 m - 2 {(m + 1)}^{2} - 3 m = 0$

Этап 3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${(m + 1)}^{2}$ в виде $(m + 1) (m + 1)$ .

$4 m^{2} + 4 m - 2 ((m + 1) (m + 1)) - 3 m = 0$

Этап 3.1.2.2

Развернем $(m + 1) (m + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 m^{2} + 4 m - 2 (m (m + 1) + 1 (m + 1)) - 3 m = 0$

Этап 3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 m^{2} + 4 m - 2 (m \cdot m + m \cdot 1 + 1 (m + 1)) - 3 m = 0$

Этап 3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 m^{2} + 4 m - 2 (m \cdot m + m \cdot 1 + 1 m + 1 \cdot 1) - 3 m = 0$

Этап 3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $m$ на $m$ .

$4 m^{2} + 4 m - 2 (m^{2} + m \cdot 1 + 1 m + 1 \cdot 1) - 3 m = 0$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $m$ на $1$ .

$4 m^{2} + 4 m - 2 (m^{2} + m + 1 m + 1 \cdot 1) - 3 m = 0$

Этап 3.1.2.3.1.3

Умножим $m$ на $1$ .

$4 m^{2} + 4 m - 2 (m^{2} + m + m + 1 \cdot 1) - 3 m = 0$

Этап 3.1.2.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$4 m^{2} + 4 m - 2 (m^{2} + m + m + 1) - 3 m = 0$

Этап 3.1.2.3.2

Добавим $m$ и $m$ .

$4 m^{2} + 4 m - 2 (m^{2} + 2 m + 1) - 3 m = 0$

Этап 3.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 m^{2} + 4 m - 2 m^{2} - 2 (2 m) - 2 \cdot 1 - 3 m = 0$

Этап 3.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 m^{2} + 4 m - 2 m^{2} - 4 m - 2 \cdot 1 - 3 m = 0$

Этап 3.1.2.5.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$4 m^{2} + 4 m - 2 m^{2} - 4 m - 2 - 3 m = 0$

Этап 3.1.3

Объединим противоположные члены в $4 m^{2} + 4 m - 2 m^{2} - 4 m - 2 - 3 m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычтем $4 m$ из $4 m$ .

$4 m^{2} - 2 m^{2} + 0 - 2 - 3 m = 0$

Этап 3.1.3.2

Добавим $4 m^{2} - 2 m^{2}$ и $0$ .

$4 m^{2} - 2 m^{2} - 2 - 3 m = 0$

Этап 3.1.4

Вычтем $2 m^{2}$ из $4 m^{2}$ .

$2 m^{2} - 2 - 3 m = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Изменим порядок членов.

$2 m^{2} - 3 m - 2 = 0$

Этап 3.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 m$ .

$2 m^{2} - 3 m - 2 = 0$

Этап 3.2.2.2

Запишем $- 3$ как $1$ плюс $- 4$

$2 m^{2} + (1 - 4) m - 2 = 0$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 m^{2} + 1 m - 4 m - 2 = 0$

Этап 3.2.2.4

Умножим $m$ на $1$ .

$2 m^{2} + m - 4 m - 2 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 m^{2} + m) - 4 m - 2 = 0$

Этап 3.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$m (2 m + 1) - 2 (2 m + 1) = 0$

Этап 3.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 m + 1$ .

$(2 m + 1) (m - 2) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 m + 1 = 0$

$m - 2 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $2 m + 1$ к $0$ , затем решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $2 m + 1$ к $0$ .

$2 m + 1 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $2 m + 1 = 0$ относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 m = - 1$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $2 m = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 m = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 m}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 m}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $m$ на $1$ .

$m = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$m = - \frac{1}{2}$

Этап 3.5

Приравняем $m - 2$ к $0$ , затем решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $m - 2$ к $0$ .

$m - 2 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$m = 2$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 m + 1) (m - 2) = 0$ верно.

$m = - \frac{1}{2}, 2$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$m = - \frac{1}{2}, 2$

Десятичная форма:

$m = - 0.5, 2$