Основы алгебры Примеры

$3 x^{2} - 11 x > 20$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$3 x^{2} - 11 x = 20$

Этап 2

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - 11 x - 20 = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 20 = 0$

Этап 3.1.2

Запишем $- 11$ как $4$ плюс $- 15$

$3 x^{2} + (4 - 15) x - 20 = 0$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 4 x - 15 x - 20 = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} + 4 x) - 15 x - 20 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x + 4) - 5 (3 x + 4) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 5) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 5

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Этап 5.2

Решим $3 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 4$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 4) (x - 5) = 0$ верно.

$x = - \frac{4}{3}, 5$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < 5$

$x > 5$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$3 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 > 20$

Этап 9.1.3

Левая часть $92$ больше правой части $20$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- \frac{4}{3} < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{4}{3} < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$3 {(0)}^{2} - 11 \cdot 0 > 20$

Этап 9.2.3

Левая часть $0$ не больше правой части $20$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$3 {(8)}^{2} - 11 \cdot 8 > 20$

Этап 9.3.3

Левая часть $104$ больше правой части $20$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{4}{3}$ Истина

$- \frac{4}{3} < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

$x < - \frac{4}{3}$ Истина

$- \frac{4}{3} < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{4}{3}$ или $x > 5$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - \frac{4}{3} or x > 5$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (5, \infty)$

Этап 12