Основы алгебры Примеры

$| \frac{3 x - 1}{1 - 5 x} | > 2$

Этап 1

Запишем $| \frac{3 x - 1}{1 - 5 x} | > 2$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$\frac{3 x - 1}{1 - 5 x} \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 x - 1 = 0$

$1 - 5 x = 0$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 1.2.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 1$

Этап 1.2.5

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 1.2.6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{1}{3}$

$x = \frac{1}{5}$

Этап 1.2.7

Объединим решения.

$x = \frac{1}{3}, \frac{1}{5}$

Этап 1.2.8

Найдем область определения $| \frac{3 x - 1}{1 - 5 x} | - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x - 1}{1 - 5 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - 5 x = 0$

Этап 1.2.8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 1$

Этап 1.2.8.2.2

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.2.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.2.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.2.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.2.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 1.2.8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{5}, \infty)$

Этап 1.2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{5}$

$\frac{1}{5} < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Этап 1.2.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.2.10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (0) - 1}{1 - 5 \cdot 0} \geq 0$

Этап 1.2.10.1.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.10.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{5} < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{5} < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.27$

Этап 1.2.10.2.2

Заменим $x$ на $0.27$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (0.27) - 1}{1 - 5 \cdot 0.27} \geq 0$

Этап 1.2.10.2.3

Левая часть $0.5\overline{428571}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.10.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 1.2.10.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (3) - 1}{1 - 5 \cdot 3} \geq 0$

Этап 1.2.10.3.3

Левая часть $- 0.\overline{571428}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{5}$ Ложь

$\frac{1}{5} < x < \frac{1}{3}$ Истина

$x > \frac{1}{3}$ Ложь

$x < \frac{1}{5}$ Ложь

$\frac{1}{5} < x < \frac{1}{3}$ Истина

$x > \frac{1}{3}$ Ложь

Этап 1.2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{5} < x \leq \frac{1}{3}$

Этап 1.3

В части, где $\frac{3 x - 1}{1 - 5 x}$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$\frac{3 x - 1}{1 - 5 x} > 2$

Этап 1.4

Найдем область определения $\frac{3 x - 1}{1 - 5 x} > 2$ и пересечение с $\frac{1}{5} < x \leq \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем область определения $\frac{3 x - 1}{1 - 5 x} > 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x - 1}{1 - 5 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - 5 x = 0$

Этап 1.4.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 1$

Этап 1.4.1.2.2

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.4.1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.4.1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.4.1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 1.4.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{5}, \infty)$

Этап 1.4.2

Найдем пересечение $\frac{1}{5} < x \leq \frac{1}{3}$ и $(- \infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{5}, \infty)$ .

$\frac{1}{5} < x \leq \frac{1}{3}$

Этап 1.5

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$\frac{3 x - 1}{1 - 5 x} < 0$

Этап 1.6

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$3 x - 1 = 0$

$1 - 5 x = 0$

Этап 1.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 1.6.3

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 1.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 1.6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 1.6.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 1$

Этап 1.6.5

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.6.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.6.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.6.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 1.6.6

$x = \frac{1}{3}$

$x = \frac{1}{5}$

Этап 1.6.7

Объединим решения.

$x = \frac{1}{3}, \frac{1}{5}$

Этап 1.6.8

Найдем область определения $| \frac{3 x - 1}{1 - 5 x} | - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x - 1}{1 - 5 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - 5 x = 0$

Этап 1.6.8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 1$

Этап 1.6.8.2.2

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.2.2.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.6.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.6.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.6.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 1.6.8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{5}, \infty)$

Этап 1.6.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{5}$

$\frac{1}{5} < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Этап 1.6.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.10.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.6.10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (0) - 1}{1 - 5 \cdot 0} < 0$

Этап 1.6.10.1.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.6.10.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{5} < x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.10.2.1

$x = 0.27$

Этап 1.6.10.2.2

Заменим $x$ на $0.27$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (0.27) - 1}{1 - 5 \cdot 0.27} < 0$

Этап 1.6.10.2.3

Левая часть $0.5\overline{428571}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.10.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 1.6.10.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (3) - 1}{1 - 5 \cdot 3} < 0$

Этап 1.6.10.3.3

Левая часть $- 0.\overline{571428}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.6.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{5}$ Истина

$\frac{1}{5} < x < \frac{1}{3}$ Ложь

$x > \frac{1}{3}$ Истина

$x < \frac{1}{5}$ Истина

$\frac{1}{5} < x < \frac{1}{3}$ Ложь

$x > \frac{1}{3}$ Истина

Этап 1.6.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < \frac{1}{5}$ или $x > \frac{1}{3}$

Этап 1.7

В части, где $\frac{3 x - 1}{1 - 5 x}$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- \frac{3 x - 1}{1 - 5 x} > 2$

Этап 1.8

Найдем область определения $- \frac{3 x - 1}{1 - 5 x} > 2$ и пересечение с $x < \frac{1}{5} or x > \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Найдем область определения $- \frac{3 x - 1}{1 - 5 x} > 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x - 1}{1 - 5 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - 5 x = 0$

Этап 1.8.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 1$

Этап 1.8.1.2.2

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.2.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.8.1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.8.1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 1.8.1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 1.8.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{5}, \infty)$

Этап 1.8.2

Найдем пересечение $x < \frac{1}{5} or x > \frac{1}{3}$ и $(- \infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{5}, \infty)$ .

$x < \frac{1}{5} or x > \frac{1}{3}$

Этап 1.9

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} \frac{3 x - 1}{1 - 5 x} > 2 & \frac{1}{5} < x \leq \frac{1}{3} \\ - \frac{3 x - 1}{1 - 5 x} > 2 & x < \frac{1}{5} or x > \frac{1}{3} \end{cases}$

Этап 2

Решим $\frac{3 x - 1}{1 - 5 x} > 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$\frac{3 x - 1}{1 - 5 x} - 2 > 0$

Этап 2.2

Упростим $\frac{3 x - 1}{1 - 5 x} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - 5 x}{1 - 5 x}$ .

$\frac{3 x - 1}{1 - 5 x} - 2 \cdot \frac{1 - 5 x}{1 - 5 x} > 0$

Этап 2.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1 - 5 x}{1 - 5 x}$ .

$\frac{3 x - 1}{1 - 5 x} + \frac{- 2 (1 - 5 x)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x - 1 - 2 (1 - 5 x)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x - 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- 5 x)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{3 x - 1 - 2 - 2 (- 5 x)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 2.2.4.3

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$\frac{3 x - 1 - 2 + 10 x}{1 - 5 x} > 0$

Этап 2.2.4.4

Добавим $3 x$ и $10 x$ .

$\frac{13 x - 1 - 2}{1 - 5 x} > 0$

Этап 2.2.4.5

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{13 x - 3}{1 - 5 x} > 0$

Этап 2.3

$13 x - 3 = 0$

$1 - 5 x = 0$

Этап 2.4

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$13 x = 3$

Этап 2.5

Разделим каждый член $13 x = 3$ на $13$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $13 x = 3$ на $13$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{3}{13}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{13 x}{13} = \frac{3}{13}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{13}$

Этап 2.6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 1$

Этап 2.7

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 2.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 2.7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 2.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 2.8

$x = \frac{3}{13}$

$x = \frac{1}{5}$

Этап 2.9

Объединим решения.

$x = \frac{3}{13}, \frac{1}{5}$

Этап 2.10

Найдем область определения $\frac{13 x - 3}{1 - 5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Зададим знаменатель в $\frac{13 x - 3}{1 - 5 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - 5 x = 0$

Этап 2.10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 1$

Этап 2.10.2.2

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.2.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 2.10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 2.10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 2.10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 2.10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{5}, \infty)$

Этап 2.11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{5}$

$\frac{1}{5} < x < \frac{3}{13}$

$x > \frac{3}{13}$

Этап 2.12

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.12.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (0) - 1}{1 - 5 \cdot 0} > 2$

Этап 2.12.1.3

Левая часть $- 1$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.12.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{5} < x < \frac{3}{13}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{5} < x < \frac{3}{13}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.22$

Этап 2.12.2.2

Заменим $x$ на $0.22$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (0.22) - 1}{1 - 5 \cdot 0.22} > 2$

Этап 2.12.2.3

Левая часть $3.4$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.12.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{3}{13}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{3}{13}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 2.12.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (3) - 1}{1 - 5 \cdot 3} > 2$

Этап 2.12.3.3

Левая часть $- 0.\overline{571428}$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.12.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{5}$ Ложь

$\frac{1}{5} < x < \frac{3}{13}$ Истина

$x > \frac{3}{13}$ Ложь

$x < \frac{1}{5}$ Ложь

$\frac{1}{5} < x < \frac{3}{13}$ Истина

$x > \frac{3}{13}$ Ложь

Этап 2.13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{5} < x < \frac{3}{13}$

Этап 3

Решим $- \frac{3 x - 1}{1 - 5 x} > 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- \frac{3 x - 1}{1 - 5 x} - 2 > 0$

Этап 3.2

Упростим $- \frac{3 x - 1}{1 - 5 x} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - 5 x}{1 - 5 x}$ .

$- \frac{3 x - 1}{1 - 5 x} - 2 \cdot \frac{1 - 5 x}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1 - 5 x}{1 - 5 x}$ .

$- \frac{3 x - 1}{1 - 5 x} + \frac{- 2 (1 - 5 x)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- (3 x - 1) - 2 (1 - 5 x)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x - 1) - 2 (1 - 5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Изменим порядок $1$ и $- 5 x$ .

$\frac{- (3 x - 1) - 2 (- 5 x + 1)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 (- 5 x + 1)$ .

$\frac{- (3 x - 1) - (2 (- 5 x + 1))}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.4.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x - 1) - (2 (- 5 x + 1))$ .

$\frac{- (3 x - 1 + 2 (- 5 x + 1))}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (3 x - 1 + 2 (- 5 x) + 2 \cdot 1)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.4.3

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{- (3 x - 1 - 10 x + 2 \cdot 1)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{- (3 x - 1 - 10 x + 2)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.4.5

Вычтем $10 x$ из $3 x$ .

$\frac{- (- 7 x - 1 + 2)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.4.6

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{- (- 7 x + 1)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{- 7 x + 1}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 x$ .

$- \frac{- (7 x) + 1}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.7

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (7 x) - 1 (- 1)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (7 x) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (7 x - 1)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.9

Перепишем $- (7 x - 1)$ в виде $- 1 (7 x - 1)$ .

$- \frac{- 1 (7 x - 1)}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{7 x - 1}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{7 x - 1}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.2.12

Умножим $\frac{7 x - 1}{1 - 5 x}$ на $1$ .

$\frac{7 x - 1}{1 - 5 x} > 0$

Этап 3.3

$7 x - 1 = 0$

$1 - 5 x = 0$

Этап 3.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$7 x = 1$

Этап 3.5

Разделим каждый член $7 x = 1$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $7 x = 1$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{7}$

Этап 3.6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 1$

Этап 3.7

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 3.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 3.7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 3.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 3.8

$x = \frac{1}{7}$

$x = \frac{1}{5}$

Этап 3.9

Объединим решения.

$x = \frac{1}{7}, \frac{1}{5}$

Этап 3.10

Найдем область определения $\frac{7 x - 1}{1 - 5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Зададим знаменатель в $\frac{7 x - 1}{1 - 5 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - 5 x = 0$

Этап 3.10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 1$

Этап 3.10.2.2

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.2.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 1$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 3.10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 3.10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 3.10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{5}$

Этап 3.10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{5}, \infty)$

Этап 3.11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{7}$

$\frac{1}{7} < x < \frac{1}{5}$

$x > \frac{1}{5}$

Этап 3.12

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.12.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- \frac{3 (0) - 1}{1 - 5 \cdot 0} > 2$

Этап 3.12.1.3

Левая часть $1$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.12.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{7} < x < \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{7} < x < \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.17$

Этап 3.12.2.2

Заменим $x$ на $0.17$ в исходном неравенстве.

$- \frac{3 (0.17) - 1}{1 - 5 \cdot 0.17} > 2$

Этап 3.12.2.3

Левая часть $3.2\overline{6}$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.12.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 3.12.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$- \frac{3 (3) - 1}{1 - 5 \cdot 3} > 2$

Этап 3.12.3.3

Левая часть $0.\overline{571428}$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.12.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{7}$ Ложь

$\frac{1}{7} < x < \frac{1}{5}$ Истина

$x > \frac{1}{5}$ Ложь

$x < \frac{1}{7}$ Ложь

$\frac{1}{7} < x < \frac{1}{5}$ Истина

$x > \frac{1}{5}$ Ложь

Этап 3.13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{7} < x < \frac{1}{5}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$\frac{1}{7} < x < \frac{1}{5}$ или $\frac{1}{5} < x < \frac{3}{13}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{1}{7} < x < \frac{1}{5} or \frac{1}{5} < x < \frac{3}{13}$

Интервальное представление:

$(\frac{1}{7}, \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{5}, \frac{3}{13})$

Этап 6