Основы алгебры Примеры

$2 x^{2} + 3 x - 5 > 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$2 x^{2} + 3 (x) - 5 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $3$ как $- 2$ плюс $5$

$2 x^{2} + (- 2 + 5) x - 5 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 2 x + 5 x - 5 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} - 2 x) + 5 x - 5 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$(x - 1) (2 x + 5) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (2 x + 5) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{5}{2}$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < 1$

$x > 1$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$2 {(- 5)}^{2} + 3 (- 5) - 5 > 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $30$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- \frac{5}{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{5}{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 {(0)}^{2} + 3 (0) - 5 > 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 5$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$2 {(4)}^{2} + 3 (4) - 5 > 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $39$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{5}{2}$ Истина

$- \frac{5}{2} < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < - \frac{5}{2}$ Истина

$- \frac{5}{2} < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{5}{2}$ или $x > 1$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - \frac{5}{2} or x > 1$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (1, \infty)$

Этап 11