Основы алгебры Примеры

$\ln (4 x) + 2 \ln (x) = 1.5$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (4 x) + 2 \ln (x) = 1.5$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\ln (4 x) + 2 \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (4 x) + \ln (x^{2}) = 1.5$

Этап 2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 x \cdot x^{2}) = 1.5$

Этап 2.1.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\ln (4 (x^{2} x)) = 1.5$

Этап 2.1.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (4 (x^{2} x^{1})) = 1.5$

Этап 2.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (4 x^{2 + 1}) = 1.5$

Этап 2.1.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\ln (4 x^{3}) = 1.5$

Этап 3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (4 x^{3})} = e^{1.5}$

Этап 4

Перепишем $\ln (4 x^{3}) = 1.5$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1.5} = 4 x^{3}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $4 x^{3} = e^{1.5}$ .

$4 x^{3} = e^{1.5}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $4 x^{3} = e^{1.5}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $4 x^{3} = e^{1.5}$ на $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Этап 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$

Этап 5.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 5.4.2

Умножим $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 5.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 5.4.3.2

Возведем $\sqrt[3]{4}$ в степень $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 5.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Этап 5.4.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Этап 5.4.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ в виде $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 5.4.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.4.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.4.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.4.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Этап 5.4.3.5.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Этап 5.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Этап 5.4.4.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{16}}{4}$

Этап 5.4.4.3

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Этап 5.4.4.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Этап 5.4.4.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 5.4.4.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{4}$

Этап 5.4.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2})}{4}$

Этап 5.4.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.4.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.4.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2}$

Этап 5.4.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2 e^{1.5}}}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\sqrt[3]{2 e^{1.5}}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 1.03862931 \dots$