Основы алгебры Примеры

$(\frac{3 x}{x + 4}) + (\frac{4 x}{x - 3}) = \frac{84}{x^{2} + x - 12}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $1$ .

$- 3, 4$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 x}{x + 4} + \frac{4 x}{x - 3} = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 4, x - 3, (x - 3) (x + 4)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x + 4, x - 3, x - 3, x + 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 4) (x - 3)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{3 x}{x + 4} + \frac{4 x}{x - 3} = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)}$ умножим на $(x + 4) (x - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{3 x}{x + 4} + \frac{4 x}{x - 3} = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)}$ на $(x + 4) (x - 3)$ .

$\frac{3 x}{x + 4} ((x + 4) (x - 3)) + \frac{4 x}{x - 3} ((x + 4) (x - 3)) = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{x + 4} ((x + 4) (x - 3)) + \frac{4 x}{x - 3} ((x + 4) (x - 3)) = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 x (x - 3) + \frac{4 x}{x - 3} ((x + 4) (x - 3)) = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + \frac{4 x}{x - 3} ((x + 4) (x - 3)) = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 + \frac{4 x}{x - 3} ((x + 4) (x - 3)) = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + \frac{4 x}{x - 3} ((x + 4) (x - 3)) = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 3$ на $3$ .

$3 x^{2} - 9 x + \frac{4 x}{x - 3} ((x + 4) (x - 3)) = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x + 4) (x - 3)$ .

$3 x^{2} - 9 x + \frac{4 x}{x - 3} ((x - 3) (x + 4)) = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - 9 x + \frac{4 x}{x - 3} ((x - 3) (x + 4)) = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} - 9 x + 4 x (x + 4) = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 9 x + 4 x \cdot x + 4 x \cdot 4 = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{2} - 9 x + 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} - 9 x + 4 x^{2} + 4 x \cdot 4 = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2.1.8

Умножим $4$ на $4$ .

$3 x^{2} - 9 x + 4 x^{2} + 16 x = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $3 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$7 x^{2} - 9 x + 16 x = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $- 9 x$ и $16 x$ .

$7 x^{2} + 7 x = \frac{84}{(x - 3) (x + 4)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x + 4) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(x + 4) (x - 3)$ из $(x - 3) (x + 4)$ .

$7 x^{2} + 7 x = \frac{84}{(x + 4) (x - 3) (1)} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$7 x^{2} + 7 x = \frac{84}{(x + 4) (x - 3) \cdot 1} ((x + 4) (x - 3))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$7 x^{2} + 7 x = 84$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $84$ из обеих частей уравнения.

$7 x^{2} + 7 x - 84 = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x^{2} + 7 x - 84$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x^{2}$ .

$7 (x^{2}) + 7 x - 84 = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$7 (x^{2}) + 7 (x) - 84 = 0$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $7$ из $- 84$ .

$7 (x^{2}) + 7 x + 7 \cdot - 12 = 0$

Этап 4.2.1.4

Вынесем множитель $7$ из $7 (x^{2}) + 7 x$ .

$7 (x^{2} + x) + 7 \cdot - 12 = 0$

Этап 4.2.1.5

Вынесем множитель $7$ из $7 (x^{2} + x) + 7 \cdot - 12$ .

$7 (x^{2} + x - 12) = 0$

Этап 4.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разложим $x^{2} + x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

$- 3, 4$

Этап 4.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$7 ((x - 3) (x + 4)) = 0$

Этап 4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$7 (x - 3) (x + 4) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $7 (x - 3) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 3, - 4$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{3 x}{x + 4} + \frac{4 x}{x - 3} = \frac{84}{x^{2} + x - 12}$ истинным.

$Нет решения$