Основы алгебры Примеры

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24} > 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 3

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Разложим $x^{2} + 2 x - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 24$ , а сумма — $2$ .

$- 4, 6$

Этап 5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 7

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 8

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 4, - 6$

Этап 10

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1$

$x = 4, - 6$

Этап 11

Объединим решения.

$x = 1, 4, - 6$

Этап 12

Найдем область определения $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

Этап 12.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

$- 4, 6$

Этап 12.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Этап 12.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 12.2.3

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 12.2.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 12.2.4

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 12.2.4.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 12.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 4, - 6$

Этап 12.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 13

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Этап 14

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 14.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 8)}^{2} - 2 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{2} + 2 (- 8) - 24} > 0$

Этап 14.1.3

Левая часть $3.375$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 14.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 14.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 24} > 0$

Этап 14.2.3

Левая часть $- 0.041\overline{6}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.3

Проверим значение на интервале $1 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 14.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1}{{(2)}^{2} + 2 (2) - 24} > 0$

Этап 14.3.3

Левая часть $- 0.0625$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 14.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(6)}^{2} - 2 \cdot 6 + 1}{{(6)}^{2} + 2 (6) - 24} > 0$

Этап 14.4.3

Левая часть $1.041\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 14.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 15

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 6$ или $x > 4$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 6 or x > 4$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 6) \cup (4, \infty)$

Этап 17