Основы алгебры Примеры

$2^{2 x} - 2^{x - 1} - 2^{2} + 2 < 0$

Этап 1

Перепишем $2^{x - 1}$ в виде $2^{x} \cdot 2^{- 1}$ .

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Этап 2

Перепишем $2^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Этап 3

Избавимся от скобок.

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $2^{x}$ .

$u^{2} - u \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} - u \cdot \frac{1}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Этап 5.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 + 2 = 0$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 4 + 2 = 0$

Этап 6

Добавим $- 4$ и $2$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2 = 0$

Этап 7

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} + 2 (- \frac{u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 7.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{u}{2}$ в числитель.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 7.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 7.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 u^{2} - u + 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 7.1.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 u^{2} - u - 4 = 0$

Этап 7.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.3

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 1$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.1.3

Добавим $1$ и $32$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$

Этап 7.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}, \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Этап 8

Подставим $\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Этап 9

Решим $\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ .

$2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

Этап 9.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Этап 9.3

Развернем $\ln (2^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Этап 9.4

Разделим каждый член $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ на $\ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Разделим каждый член $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ на $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Этап 9.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Этап 9.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Этап 10

Подставим $\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Этап 11

Решим $\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ .

$2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Этап 11.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$

Этап 11.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$ не определено.

Неопределенные

Этап 11.4

Нет решения для $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Нет решения

Этап 12

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)})$

Этап 15