Основы алгебры Примеры

$\frac{x - 3}{(x - 1) (x + 2)} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 3$

$x = 1$

$x = - 2$

Этап 6

Объединим решения.

$x = 3, 1, - 2$

Этап 7

Найдем область определения $\frac{x - 3}{(x - 1) (x + 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 3}{(x - 1) (x + 2)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x - 1) (x + 2) = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 7.2.2

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 7.2.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 7.2.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 7.2.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 1, - 2$

Этап 7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 4) - 3}{((- 4) - 1) ((- 4) + 2)} < 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 0.7$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 3}{((0) - 1) ((0) + 2)} < 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $1.5$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{(2) - 3}{((2) - 1) ((2) + 2)} < 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 0.25$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(6) - 3}{((6) - 1) ((6) + 2)} < 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $0.075$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$ или $1 < x < 3$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 2 or 1 < x < 3$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (1, 3)$

Этап 12