Основы алгебры Примеры

$\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{3} = \frac{13}{10 x + 17}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 1, 3, 10 x + 17$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 1.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.6

НОК $1, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 1.7

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

Множителем $10 x + 17$ является само значение $10 x + 17$ .

$(10 x + 17) = 10 x + 17$

$(10 x + 17)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

НОК $x + 1, 10 x + 17$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 1) (10 x + 17)$

Этап 1.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$3 (x + 1) (10 x + 17)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{3} = \frac{13}{10 x + 17}$ умножим на $3 (x + 1) (10 x + 17)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{3} = \frac{13}{10 x + 17}$ на $3 (x + 1) (10 x + 17)$ .

$\frac{x}{x + 1} (3 (x + 1) (10 x + 17)) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{x}{x + 1} ((x + 1) (10 x + 17)) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.2

Объединим $3$ и $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{3 x}{x + 1} ((x + 1) (10 x + 17)) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{x + 1} ((x + 1) (10 x + 17)) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$3 x (10 x + 17) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x (10 x) + 3 x \cdot 17 + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \cdot 10 x \cdot x + 3 x \cdot 17 + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $17$ на $3$ .

$3 \cdot 10 x \cdot x + 51 x + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1.1

Перенесем $x$ .

$3 \cdot 10 (x \cdot x) + 51 x + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.7.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 \cdot 10 x^{2} + 51 x + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.7.2

Умножим $3$ на $10$ .

$30 x^{2} + 51 x + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (x + 1) (10 x + 17)$ .

$30 x^{2} + 51 x + \frac{1}{3} (3 ((x + 1) (10 x + 17))) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$30 x^{2} + 51 x + \frac{1}{3} (3 ((x + 1) (10 x + 17))) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$30 x^{2} + 51 x + (x + 1) (10 x + 17) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.9

Развернем $(x + 1) (10 x + 17)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$30 x^{2} + 51 x + x (10 x + 17) + 1 (10 x + 17) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$30 x^{2} + 51 x + x (10 x) + x \cdot 17 + 1 (10 x + 17) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$30 x^{2} + 51 x + x (10 x) + x \cdot 17 + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.10.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$30 x^{2} + 51 x + 10 x \cdot x + x \cdot 17 + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.10.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.10.1.2.1

Перенесем $x$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 (x \cdot x) + x \cdot 17 + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.10.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + x \cdot 17 + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.10.1.3

Перенесем $17$ влево от $x$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + 17 \cdot x + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.10.1.4

Умножим $10 x$ на $1$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + 17 x + 10 x + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.10.1.5

Умножим $17$ на $1$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + 17 x + 10 x + 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.1.10.2

Добавим $17 x$ и $10 x$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + 27 x + 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $30 x^{2}$ и $10 x^{2}$ .

$40 x^{2} + 51 x + 27 x + 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $51 x$ и $27 x$ .

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$40 x^{2} + 78 x + 17 = 3 \frac{13}{10 x + 17} ((x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.3.2

Умножим $3 \frac{13}{10 x + 17}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{13}{10 x + 17}$ .

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{3 \cdot 13}{10 x + 17} ((x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.3.2.2

Умножим $3$ на $13$ .

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{39}{10 x + 17} ((x + 1) (10 x + 17))$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $10 x + 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем множитель $10 x + 17$ из $(x + 1) (10 x + 17)$ .

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{39}{10 x + 17} ((10 x + 17) (x + 1))$

Этап 2.3.3.2

Сократим общий множитель.

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{39}{10 x + 17} ((10 x + 17) (x + 1))$

Этап 2.3.3.3

Перепишем это выражение.

$40 x^{2} + 78 x + 17 = 39 (x + 1)$

Этап 2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$40 x^{2} + 78 x + 17 = 39 x + 39 \cdot 1$

Этап 2.3.5

Умножим $39$ на $1$ .

$40 x^{2} + 78 x + 17 = 39 x + 39$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $39 x$ из обеих частей уравнения.

$40 x^{2} + 78 x + 17 - 39 x = 39$

Этап 3.1.2

Вычтем $39 x$ из $78 x$ .

$40 x^{2} + 39 x + 17 = 39$

Этап 3.2

Вычтем $39$ из обеих частей уравнения.

$40 x^{2} + 39 x + 17 - 39 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $39$ из $17$ .

$40 x^{2} + 39 x - 22 = 0$

Этап 3.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 40 \cdot - 22 = - 880$ , а сумма — $b = 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $39$ из $39 x$ .

$40 x^{2} + 39 (x) - 22 = 0$

Этап 3.4.1.2

Запишем $39$ как $- 16$ плюс $55$

$40 x^{2} + (- 16 + 55) x - 22 = 0$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$40 x^{2} - 16 x + 55 x - 22 = 0$

Этап 3.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(40 x^{2} - 16 x) + 55 x - 22 = 0$

Этап 3.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$8 x (5 x - 2) + 11 (5 x - 2) = 0$

Этап 3.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x - 2$ .

$(5 x - 2) (8 x + 11) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$8 x + 11 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $5 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $5 x - 2$ к $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $5 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 2$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $5 x = 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 2$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Этап 3.7

Приравняем $8 x + 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $8 x + 11$ к $0$ .

$8 x + 11 = 0$

Этап 3.7.2

Решим $8 x + 11 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$8 x = - 11$

Этап 3.7.2.2

Разделим каждый член $8 x = - 11$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Разделим каждый член $8 x = - 11$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 11}{8}$

Этап 3.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 11}{8}$

Этап 3.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 11}{8}$

Этап 3.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{11}{8}$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 x - 2) (8 x + 11) = 0$ верно.

$x = \frac{2}{5}, - \frac{11}{8}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{2}{5}, - \frac{11}{8}$

Десятичная форма:

$x = 0.4, - 1.375$

Форма смешанных чисел:

$x = \frac{2}{5}, - 1 \frac{3}{8}$