Основы алгебры Примеры

$\frac{3}{x - 1} - \frac{1}{2} = \frac{4}{x + 1}$

Этап 1

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{3}{x - 1} = \frac{4}{x + 1} + \frac{1}{2}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, x + 1, 2$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.5

НОК $1, 1, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 2.6

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x - 1, x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 1) (x + 1)$

Этап 2.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$2 (x - 1) (x + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{3}{x - 1} = \frac{4}{x + 1} + \frac{1}{2}$ умножим на $2 (x - 1) (x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{3}{x - 1} = \frac{4}{x + 1} + \frac{1}{2}$ на $2 (x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{3}{x - 1} (2 (x - 1) (x + 1)) = \frac{4}{x + 1} (2 (x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{3}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{4}{x + 1} (2 (x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.2

Умножим $2 \frac{3}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим $2$ и $\frac{3}{x - 1}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{4}{x + 1} (2 (x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{4}{x + 1} (2 (x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{4}{x + 1} (2 (x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$6 (x + 1) = \frac{4}{x + 1} (2 (x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 6 \cdot 1 = \frac{4}{x + 1} (2 (x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.5

Умножим $6$ на $1$ .

$6 x + 6 = \frac{4}{x + 1} (2 (x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x + 6 = 2 \frac{4}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.2

Умножим $2 \frac{4}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Объединим $2$ и $\frac{4}{x + 1}$ .

$6 x + 6 = \frac{2 \cdot 4}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$6 x + 6 = \frac{8}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x - 1) (x + 1)$ .

$6 x + 6 = \frac{8}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$6 x + 6 = \frac{8}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$6 x + 6 = 8 (x - 1) + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 6 = 8 x + 8 \cdot - 1 + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.5

Умножим $8$ на $- 1$ .

$6 x + 6 = 8 x - 8 + \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (x - 1) (x + 1)$ .

$6 x + 6 = 8 x - 8 + \frac{1}{2} (2 ((x - 1) (x + 1)))$

Этап 3.3.1.6.2

Сократим общий множитель.

$6 x + 6 = 8 x - 8 + \frac{1}{2} (2 ((x - 1) (x + 1)))$

Этап 3.3.1.6.3

Перепишем это выражение.

$6 x + 6 = 8 x - 8 + (x - 1) (x + 1)$

Этап 3.3.1.7

Развернем $(x - 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 6 = 8 x - 8 + x (x + 1) - 1 (x + 1)$

Этап 3.3.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 6 = 8 x - 8 + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1)$

Этап 3.3.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 6 = 8 x - 8 + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.8

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.8.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot 1$ и $- 1 x$ .

$6 x + 6 = 8 x - 8 + x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.8.2

Вычтем $1 x$ из $1 x$ .

$6 x + 6 = 8 x - 8 + x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.8.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$6 x + 6 = 8 x - 8 + x \cdot x - 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.9.1

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x + 6 = 8 x - 8 + x^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 3.3.1.9.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 x + 6 = 8 x - 8 + x^{2} - 1$

Этап 3.3.2

Вычтем $1$ из $- 8$ .

$6 x + 6 = 8 x + x^{2} - 9$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$8 x + x^{2} - 9 = 6 x + 6$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$8 x + x^{2} - 9 - 6 x = 6$

Этап 4.2.2

Вычтем $6 x$ из $8 x$ .

$2 x + x^{2} - 9 = 6$

Этап 4.3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$2 x + x^{2} - 9 - 6 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $6$ из $- 9$ .

$2 x + x^{2} - 15 = 0$

Этап 4.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$2 u + u^{2} - 15 = 0$

Этап 4.5.2

Разложим $2 u + u^{2} - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $2$ .

$- 3, 5$

Этап 4.5.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u + 5) = 0$

Этап 4.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.8

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 4.8.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 3, - 5$