Основы алгебры Примеры

$\sqrt{3 x + 28} = 1 + \sqrt{x + 9}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 x + 28}}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x + 28}$ в виде ${(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 x + 28)}^{1} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$3 x + 28 = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{x + 9}) (1 + \sqrt{x + 9})$ .

$3 x + 28 = (1 + \sqrt{x + 9}) (1 + \sqrt{x + 9})$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(1 + \sqrt{x + 9}) (1 + \sqrt{x + 9})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 28 = 1 (1 + \sqrt{x + 9}) + \sqrt{x + 9} (1 + \sqrt{x + 9})$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 28 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} (1 + \sqrt{x + 9})$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 28 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \cdot 1 + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$3 x + 28 = 1 + 1 \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \cdot 1 + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $\sqrt{x + 9}$ на $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \cdot 1 + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{x + 9}$ на $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $\sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.4.1

Возведем $\sqrt{x + 9}$ в степень $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{1} \sqrt{x + 9}$

Этап 2.3.1.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{x + 9}$ в степень $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{1} {\sqrt{x + 9}}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{1 + 1}$

Этап 2.3.1.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{x + 9}}^{2}$ в виде $x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 9}$ в виде ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + x + 9$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $1$ и $9$ .

$3 x + 28 = 10 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + x$

Этап 2.3.1.3.3

Добавим $\sqrt{x + 9}$ и $\sqrt{x + 9}$ .

$3 x + 28 = 10 + 2 \sqrt{x + 9} + x$

Этап 3

Решим относительно $2 \sqrt{x + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $10 + 2 \sqrt{x + 9} + x = 3 x + 28$ .

$10 + 2 \sqrt{x + 9} + x = 3 x + 28$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{x + 9}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{x + 9} + x = 3 x + 28 - 10$

Этап 3.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{x + 9} = 3 x + 28 - 10 - x$

Этап 3.2.3

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$2 \sqrt{x + 9} = 2 x + 28 - 10$

Этап 3.2.4

Вычтем $10$ из $28$ .

$2 \sqrt{x + 9} = 2 x + 18$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x + 9})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 9}$ в виде ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x + 9)}^{1} = {(2 x + 18)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$4 (x + 9) = {(2 x + 18)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot 9 = {(2 x + 18)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $4$ на $9$ .

$4 x + 36 = {(2 x + 18)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(2 x + 18)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем ${(2 x + 18)}^{2}$ в виде $(2 x + 18) (2 x + 18)$ .

$4 x + 36 = (2 x + 18) (2 x + 18)$

Этап 5.3.1.2

Развернем $(2 x + 18) (2 x + 18)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 36 = 2 x (2 x + 18) + 18 (2 x + 18)$

Этап 5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 36 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x + 18)$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 36 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Этап 5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x + 36 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Этап 5.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$4 x + 36 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Этап 5.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x + 36 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Этап 5.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Этап 5.3.1.3.1.4

Умножим $18$ на $2$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 36 x + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Этап 5.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $18$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 36 x + 36 x + 18 \cdot 18$

Этап 5.3.1.3.1.6

Умножим $18$ на $18$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 36 x + 36 x + 324$

Этап 5.3.1.3.2

Добавим $36 x$ и $36 x$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 72 x + 324$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} + 72 x + 324 = 4 x + 36$

Этап 6.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 72 x + 324 - 4 x = 36$

Этап 6.2.2

Вычтем $4 x$ из $72 x$ .

$4 x^{2} + 68 x + 324 = 36$

Этап 6.3

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 68 x + 324 - 36 = 0$

Этап 6.4

Вычтем $36$ из $324$ .

$4 x^{2} + 68 x + 288 = 0$

Этап 6.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 68 x + 288$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) + 68 x + 288 = 0$

Этап 6.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $68 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (17 x) + 288 = 0$

Этап 6.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $288$ .

$4 x^{2} + 4 (17 x) + 4 \cdot 72 = 0$

Этап 6.5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 (17 x)$ .

$4 (x^{2} + 17 x) + 4 \cdot 72 = 0$

Этап 6.5.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} + 17 x) + 4 \cdot 72$ .

$4 (x^{2} + 17 x + 72) = 0$

Этап 6.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Разложим $x^{2} + 17 x + 72$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $72$ , а сумма — $17$ .

$8, 9$

Этап 6.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 ((x + 8) (x + 9)) = 0$

Этап 6.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x + 8) (x + 9) = 0$

Этап 6.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 8 = 0$

$x + 9 = 0$

Этап 6.7

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 6.7.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 6.8

Приравняем $x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Приравняем $x + 9$ к $0$ .

$x + 9 = 0$

Этап 6.8.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 6.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x + 8) (x + 9) = 0$ верно.

$x = - 8, - 9$