Основы алгебры Примеры

$\sqrt{x + 25} + 5 = x$

Этап 1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x + 25} = x - 5$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 25}}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 25}$ в виде ${(x + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(x + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 25)}^{1} = {(x - 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x + 25 = {(x - 5)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(x - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(x - 5)}^{2}$ в виде $(x - 5) (x - 5)$ .

$x + 25 = (x - 5) (x - 5)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(x - 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 25 = x (x - 5) - 5 (x - 5)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 25 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 25 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 25 = x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$x + 25 = x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$x + 25 = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$x + 25 = x^{2} - 10 x + 25$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 10 x + 25 = x + 25$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 10 x + 25 - x = 25$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из $- 10 x$ .

$x^{2} - 11 x + 25 = 25$

Этап 4.3

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 11 x + 25 - 25 = 0$

Этап 4.4

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 11 x + 25 - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $25$ из $25$ .

$x^{2} - 11 x + 0 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $x^{2} - 11 x$ и $0$ .

$x^{2} - 11 x = 0$

Этап 4.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 11 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 11 x = 0$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 11 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 11 = 0$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 11$ .

$x (x - 11) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 11 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.8

Приравняем $x - 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x - 11$ к $0$ .

$x - 11 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$x = 11$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 11) = 0$ верно.

$x = 0, 11$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x + 25} + 5 = x$ истинным.

$x = 11$