Основы алгебры Примеры

$\frac{x}{1 - x} > 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x}{1 - x} - 1 > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x}{1 - x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{x}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x} > 0$

Этап 2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{x}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x} > 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - (1 - x)}{1 - x} > 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 1 \cdot 1 - - x}{1 - x} > 0$

Этап 2.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x - 1 - - x}{1 - x} > 0$

Этап 2.4.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x - 1 + 1 x}{1 - x} > 0$

Этап 2.4.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x - 1 + x}{1 - x} > 0$

Этап 2.4.4

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{2 x - 1}{1 - x} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 x - 1 = 0$

$1 - x = 0$

Этап 4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 5

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 7

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{1}{2}$

$x = 1$

Этап 9

Объединим решения.

$x = \frac{1}{2}, 1$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{2 x - 1}{1 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x - 1}{1 - x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - x = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 10.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{0}{1 - (0)} > 1$

Этап 12.1.3

Левая часть $0$ не больше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.75$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $0.75$ в исходном неравенстве.

$\frac{0.75}{1 - (0.75)} > 1$

Этап 12.2.3

Левая часть $3$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{1 - (4)} > 1$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 1.\overline{3}$ не больше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{2} < x < 1$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{1}{2} < x < 1$

Интервальное представление:

$(\frac{1}{2}, 1)$

Этап 15