Основы алгебры Примеры

$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{x}{x^{2} - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x}{x^{2} - 1}$ на $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ на $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x$ из $x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x (x^{2} - 1)$ .

$\frac{x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))$ .

$\frac{x (x - x^{2} + 5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.2

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$\frac{x (u + 4 u^{2} - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Изменим порядок членов.

$\frac{x (4 u^{2} + u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.3.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{x (4 u^{2} + 1 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.3.2.2

Запишем $1$ как $- 4$ плюс $5$

$\frac{x (4 u^{2} + (- 4 + 5) u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (4 u^{2} - 4 u + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x ((4 u^{2} - 4 u) + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (4 u (u - 1) + 5 (u - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.3.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u - 1$ .

$\frac{x ((u - 1) (4 u + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$\frac{x ((x - 1) (4 x + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $x$ из $x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x^{1} - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 + x (- x)) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.5.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot (1 - x) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.5.5

Умножим $x$ на $1 - x$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1)}$

Этап 5.6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1^{2})}$

Этап 5.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) ((x + 1) (x - 1))}$

Этап 5.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - x) (x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.8.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - (x)) (x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1 + x)) (x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.8.4

Избавимся от скобок.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (- 1 + x) (x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.8.5

Изменим порядок членов.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.8.6

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} (x - 1)) (x + 1)}$

Этап 5.8.7

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}) (x + 1)}$

Этап 5.8.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)}$

Этап 5.8.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Этап 5.9

Сократим выражение $\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Этап 5.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Этап 6

Сократим выражение $\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x + 5}{- 1 (x - 1) (x + 1)}$