Основы алгебры Примеры

$x^{4} - 10 x + 9$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

Этап 3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{4} - 10 \cdot 1 + 9$

Этап 3.2

Возведем $1$ в степень $4$ .

$1 - 10 \cdot 1 + 9$

Этап 3.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$1 - 10 + 9$

Этап 3.4

Вычтем $10$ из $1$ .

$- 9 + 9$

Этап 3.5

Добавим $- 9$ и $9$ .

$0$

Этап 4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 10 x + 9}{x - 1}$

Этап 5

Разделим $x^{4} - 10 x + 9$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

$9 x$

Этап 5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

$9 x$

$9$

Этап 5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 9 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$9$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

$9 x$

$9$

Этап 5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$9$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

$9 x$

$9$

$9 x$

$9$

Этап 5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 9 x + 9$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$9$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

$9 x$

$9$

$9 x$

$9$

Этап 5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$9$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$10 x$

$9$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$x$

$9 x$

$9$

$9 x$

$9$

$0$

Этап 5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + x^{2} + x - 9$

Этап 6

Запишем $x^{4} - 10 x + 9$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x - 9)$