Основы алгебры Примеры

$(2 x^{3} - 31 x + 35 - x^{2}) \div (2 x - 7)$

Этап 1

Запишем деление в виде дроби.

$\frac{2 x^{3} - 31 x + 35 - x^{2}}{2 x - 7}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Изменим порядок членов.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 31 x + 35}{2 x - 7}$

Этап 2.2

Разложим $2 x^{3} - x^{2} - 31 x + 35$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 35, \pm 17.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 7, \pm 3.5$

Этап 2.2.3

Подставим $3.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Подставим $3.5$ в многочлен.

$2 \cdot {3.5}^{3} - {3.5}^{2} - 31 \cdot 3.5 + 35$

Этап 2.2.3.2

Возведем $3.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot 42.875 - {3.5}^{2} - 31 \cdot 3.5 + 35$

Этап 2.2.3.3

Умножим $2$ на $42.875$ .

$85.75 - {3.5}^{2} - 31 \cdot 3.5 + 35$

Этап 2.2.3.4

Возведем $3.5$ в степень $2$ .

$85.75 - 1 \cdot 12.25 - 31 \cdot 3.5 + 35$

Этап 2.2.3.5

Умножим $- 1$ на $12.25$ .

$85.75 - 12.25 - 31 \cdot 3.5 + 35$

Этап 2.2.3.6

Вычтем $12.25$ из $85.75$ .

$73.5 - 31 \cdot 3.5 + 35$

Этап 2.2.3.7

Умножим $- 31$ на $3.5$ .

$73.5 - 108.5 + 35$

Этап 2.2.3.8

Вычтем $108.5$ из $73.5$ .

$- 35 + 35$

Этап 2.2.3.9

Добавим $- 35$ и $35$ .

$0$

Этап 2.2.4

Поскольку $3.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 7$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 31 x + 35}{2 x - 7}$

Этап 2.2.5

Разделим $2 x^{3} - x^{2} - 31 x + 35$ на $2 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$7$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$31 x$

$35$

Этап 2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$

Этап 2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Этап 2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 7 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Этап 2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Этап 2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$

Этап 2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$

Этап 2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$21 x$

Этап 2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{2} - 21 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$21 x$

Этап 2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$21 x$
							-	$10 x$

Этап 2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$21 x$
							-	$10 x$	+	$35$

Этап 2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$21 x$
							-	$10 x$	+	$35$

Этап 2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$21 x$
							-	$10 x$	+	$35$
							-	$10 x$	+	$35$

Этап 2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x + 35$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$21 x$
							-	$10 x$	+	$35$
							+	$10 x$	-	$35$

Этап 2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$2 x$	-	$7$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$31 x$	+	$35$
			-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$21 x$
							-	$10 x$	+	$35$
							+	$10 x$	-	$35$
										$0$

Этап 2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 3 x - 5$

Этап 2.2.6

Запишем $2 x^{3} - x^{2} - 31 x + 35$ в виде набора множителей.

$\frac{(2 x - 7) (x^{2} + 3 x - 5)}{2 x - 7}$

Этап 3

Сократим общий множитель $2 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x - 7) (x^{2} + 3 x - 5)}{2 x - 7}$

Этап 3.2

Разделим $x^{2} + 3 x - 5$ на $1$ .

$x^{2} + 3 x - 5$