Основы алгебры Примеры

$\frac{\frac{x - y}{x + y} + \frac{x + y}{x - y}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$

Этап 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(x + y) (x - y) y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{\frac{x - y}{x + y} + \frac{x + y}{x - y}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$ на $\frac{(x + y) (x - y) y x}{(x + y) (x - y) y x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y) y x}{(x + y) (x - y) y x} \cdot \frac{\frac{x - y}{x + y} + \frac{x + y}{x - y}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$

Этап 1.2

Объединим.

$\frac{(x + y) (x - y) y x (\frac{x - y}{x + y} + \frac{x + y}{x - y})}{(x + y) (x - y) y x (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})}$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + y) (x - y) y x \frac{x - y}{x + y} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x + y$ из $(x + y) (x - y) y x$ .

$\frac{(x + y) ((x - y) y x) \frac{x - y}{x + y} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + y) ((x - y) y x) \frac{x - y}{x + y} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x - y) y x (x - y) + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.2

Возведем $x - y$ в степень $1$ .

$\frac{y x ({(x - y)}^{1} (x - y)) + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.3

Возведем $x - y$ в степень $1$ .

$\frac{y x ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1}) + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y x {(x - y)}^{1 + 1} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $x - y$ из $(x + y) (x - y) y x$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + (x - y) ((x + y) y x) \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + (x - y) ((x + y) y x) \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + (x + y) y x (x + y)}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.7

Возведем $x + y$ в степень $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x ({(x + y)}^{1} (x + y))}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.8

Возведем $x + y$ в степень $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x ({(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1})}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{1 + 1}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.11

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Вынесем множитель $y$ из $(x + y) (x - y) y x$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{y ((x + y) (x - y) x) \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{y ((x + y) (x - y) x) \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x \cdot x + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) (x^{1} x) + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) (x^{1} x^{1}) + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{1 + 1} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.15

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Этап 3.16

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Вынесем множитель $x$ из $(x + y) (x - y) y x$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + x ((x + y) (x - y) y) \frac{y}{x}}$

Этап 3.16.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + x ((x + y) (x - y) y) \frac{y}{x}}$

Этап 3.16.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y \cdot y}$

Этап 3.17

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) (y^{1} y)}$

Этап 3.18

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) (y^{1} y^{1})}$

Этап 3.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{1 + 1}}$

Этап 3.20

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $y x$ из $y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $y x$ из $y x {(x - y)}^{2}$ .

$\frac{y x ({(x - y)}^{2}) + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $y x$ из $y x {(x + y)}^{2}$ .

$\frac{y x ({(x - y)}^{2}) + y x ({(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $y x$ из $y x ({(x - y)}^{2}) + y x ({(x + y)}^{2})$ .

$\frac{y x ({(x - y)}^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.2

Перепишем ${(x - y)}^{2}$ в виде $(x - y) (x - y)$ .

$\frac{y x ((x - y) (x - y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.3

Развернем $(x - y) (x - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y x (x (x - y) - y (x - y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y x (x \cdot x + x (- y) - y (x - y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y x (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{y x (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x - y (- y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.4.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.4.1.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1

Перенесем $y$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.4.1.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.4.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.4.1.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x + y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.4.2

Вычтем $y x$ из $- x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $x y$ из $- x y$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.5

Перепишем ${(x + y)}^{2}$ в виде $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + (x + y) (x + y))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.6

Развернем $(x + y) (x + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x (x + y) + y (x + y))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y)}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.7.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.7.2

Добавим $x y$ и $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.7.2.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.8

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{y x (2 x^{2} - 2 x y + y^{2} + 2 x y + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.9

Добавим $- 2 x y$ и $2 x y$ .

$\frac{y x (2 x^{2} + y^{2} + 0 + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.10

Добавим $2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{y x (2 x^{2} + y^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.11

Добавим $y^{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y x (2 x^{2} + 2 y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.12

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{y x (2 (x^{2}) + 2 y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.12.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{2}$ .

$\frac{y x (2 (x^{2}) + 2 (y^{2}))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 4.12.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ .

$\frac{y x (2 (x^{2} + y^{2}))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $(x + y) (x - y)$ из $(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $(x + y) (x - y)$ из $(x + y) (x - y) x^{2}$ .

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2}) + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $(x + y) (x - y)$ из $(x + y) (x - y) y^{2}$ .

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2}) + (x + y) (x - y) (y^{2})}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $(x + y) (x - y)$ из $(x + y) (x - y) (x^{2}) + (x + y) (x - y) (y^{2})$ .

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y x \cdot 2}{(x + y) (x - y)}$

Этап 5.3

Перенесем $2$ влево от $y x$ .

$\frac{2 y x}{(x + y) (x - y)}$