Основы алгебры Примеры

$\frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} + 6 a + 9} \div \frac{a^{2} + 2 a}{a - 3} \div \frac{a^{2} + 5 a + 6}{a - 2}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} + 6 a + 9} \div \frac{a^{2} + 2 a}{a - 3} \cdot \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 2

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} + 6 a + 9} \cdot \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{a^{2} + 4 a + 2^{2}}{a^{2} + 6 a + 9} \cdot \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 a = 2 \cdot a \cdot 2$

Этап 3.3

Перепишем многочлен.

$\frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^{2}}{a^{2} + 6 a + 9} \cdot \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = 2$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{a^{2} + 6 a + 9} \cdot \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{a^{2} + 6 a + 3^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 a = 2 \cdot a \cdot 3$

Этап 4.3

Перепишем многочлен.

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = 3$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2} + 2 a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2}$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a \cdot a + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $a$ из $2 a$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a \cdot a + a \cdot 2} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $a$ из $a \cdot a + a \cdot 2$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a (a + 2)} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $a + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $a + 2$ из ${(a + 2)}^{2}$ .

$\frac{(a + 2) (a + 2)}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a (a + 2)} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $a + 2$ из $a (a + 2)$ .

$\frac{(a + 2) (a + 2)}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{(a + 2) a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(a + 2) (a + 2)}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{(a + 2) a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 5.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{a + 2}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 5.3

Умножим $\frac{a + 2}{{(a + 3)}^{2}}$ на $\frac{a - 3}{a}$ .

$\frac{(a + 2) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} a} \cdot \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Этап 6

Разложим $a^{2} + 5 a + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $5$ .

$2, 3$

Этап 6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(a + 2) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} a} \cdot \frac{a - 2}{(a + 2) (a + 3)}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $a + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(a + 2) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} a} \cdot \frac{a - 2}{(a + 2) (a + 3)}$

Этап 7.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a - 3}{{(a + 3)}^{2} a} \cdot \frac{a - 2}{a + 3}$

Этап 7.2

Умножим $\frac{a - 3}{{(a + 3)}^{2} a}$ на $\frac{a - 2}{a + 3}$ .

$\frac{(a - 3) (a - 2)}{{(a + 3)}^{2} a (a + 3)}$

Этап 8

Возведем $a + 3$ в степень $1$ .

$\frac{(a - 3) (a - 2)}{a ({(a + 3)}^{2} {(a + 3)}^{1})}$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(a - 3) (a - 2)}{a {(a + 3)}^{2 + 1}}$

Этап 10

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{(a - 3) (a - 2)}{a {(a + 3)}^{3}}$