Основы алгебры Примеры

$8 x^{3} + 3 x - 7 x^{3} - 4$

Этап 1

Вычтем $7 x^{3}$ из $8 x^{3}$ .

$x^{3} + 3 x - 4$

Этап 2

Разложим $x^{3} + 3 x - 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} + 3 \cdot 1 - 4$

Этап 2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$1 + 3 - 4$

Этап 2.3.4

Добавим $1$ и $3$ .

$4 - 4$

Этап 2.3.5

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 3 x - 4}{x - 1}$

Этап 2.5

Разделим $x^{3} + 3 x - 4$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$4$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$4$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x - 4$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

Этап 2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + x + 4$

Этап 2.6

Запишем $x^{3} + 3 x - 4$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (x^{2} + x + 4)$