Основы алгебры Примеры

$216 x^{6} + 19 x^{3} - 1$

Этап 1

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{3})}^{2}$ .

$216 {(x^{3})}^{2} + 19 x^{3} - 1$

Этап 2

Пусть $u = x^{3}$ . Подставим $u$ вместо $x^{3}$ для всех.

$216 u^{2} + 19 u - 1$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 216 \cdot - 1 = - 216$ , а сумма — $b = 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $19$ из $19 u$ .

$216 u^{2} + 19 (u) - 1$

Этап 3.1.2

Запишем $19$ как $- 8$ плюс $27$

$216 u^{2} + (- 8 + 27) u - 1$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$216 u^{2} - 8 u + 27 u - 1$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(216 u^{2} - 8 u) + 27 u - 1$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$8 u (27 u - 1) + 1 (27 u - 1)$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $27 u - 1$ .

$(27 u - 1) (8 u + 1)$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$(27 x^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

Этап 5

Перепишем $27 x^{3}$ в виде ${(3 x)}^{3}$ .

$({(3 x)}^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

Этап 6

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$({(3 x)}^{3} - 1^{3}) (8 x^{3} + 1)$

Этап 7

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 3 x$ и $b = 1$ .

$(3 x - 1) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило умножения к $3 x$ .

$(3 x - 1) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Этап 8.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Этап 8.3

Умножим $3$ на $1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Этап 8.4

Единица в любой степени равна единице.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (8 x^{3} + 1)$

Этап 9

Перепишем $8 x^{3}$ в виде ${(2 x)}^{3}$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1)$

Этап 10

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1^{3})$

Этап 11

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Этап 12

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (2^{2} x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Этап 12.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Этап 12.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}))$

Этап 12.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1^{2}))$

Этап 12.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1))$

Этап 12.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)$