Основы алгебры Примеры

$15 y^{8} + 30 y^{4} - 45 y^{2}$

Этап 1

Вынесем множитель $15 y^{2}$ из $15 y^{8} + 30 y^{4} - 45 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $15 y^{2}$ из $15 y^{8}$ .

$15 y^{2} (y^{6}) + 30 y^{4} - 45 y^{2}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $15 y^{2}$ из $30 y^{4}$ .

$15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2}) - 45 y^{2}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $15 y^{2}$ из $- 45 y^{2}$ .

$15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$

Этап 1.4

Вынесем множитель $15 y^{2}$ из $15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2})$ .

$15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$

Этап 1.5

Вынесем множитель $15 y^{2}$ из $15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$ .

$15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2} - 3)$

Этап 2

Разложим $y^{6} + 2 y^{2} - 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 3$

Этап 2.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{6} + 2 {(- 1)}^{2} - 3$

Этап 2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$1 + 2 {(- 1)}^{2} - 3$

Этап 2.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + 2 \cdot 1 - 3$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$1 + 2 - 3$

Этап 2.3.5

Добавим $1$ и $2$ .

$3 - 3$

Этап 2.3.6

Вычтем $3$ из $3$ .

$0$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $y + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{y^{6} + 2 y^{2} - 3}{y + 1}$

Этап 2.5

Разделим $y^{6} + 2 y^{2} - 3$ на $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y^{6}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y^{6} + y^{5}$ .

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- y^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- y^{5} - y^{4}$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y^{4} + y^{3}$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

Этап 2.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

Этап 2.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- y^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

Этап 2.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

Этап 2.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- y^{3} - y^{2}$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

Этап 2.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

Этап 2.5.21

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

Этап 2.5.22

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 y^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

Этап 2.5.23

Умножим новое частное на делитель.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

Этап 2.5.24

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 y^{2} + 3 y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

Этап 2.5.25

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

Этап 2.5.26

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

Этап 2.5.27

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

Этап 2.5.28

Умножим новое частное на делитель.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

Этап 2.5.29

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 y - 3$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

Этап 2.5.30

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

$0$

Этап 2.5.31

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$y^{5} - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3$

Этап 2.6

Запишем $y^{6} + 2 y^{2} - 3$ в виде набора множителей.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{5} - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

Этап 3

Вынесем множитель $y^{4}$ из $y^{5} - y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $y^{4}$ из $y^{5}$ .

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} y - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

Этап 3.2

Вынесем множитель $y^{4}$ из $- y^{4}$ .

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} y + y^{4} \cdot - 1 + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

Этап 3.3

Вынесем множитель $y^{4}$ из $y^{4} y + y^{4} \cdot - 1$ .

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

Этап 4

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + (y^{3} - y^{2}) + 3 y - 3))$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + y^{2} (y - 1) + 3 (y - 1)))$

Этап 5

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $y - 1$ .

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + (y - 1) (y^{2} + 3)))$

Этап 6

Вынесем множитель $y - 1$ из $y^{4} (y - 1) + (y - 1) (y^{2} + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $y - 1$ из $y^{4} (y - 1)$ .

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) y^{4} + (y - 1) (y^{2} + 3)))$

Этап 6.2

Вынесем множитель $y - 1$ из $(y - 1) y^{4} + (y - 1) (y^{2} + 3)$ .

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)))$

Этап 7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Избавимся от ненужных скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Избавимся от ненужных скобок.

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)))$

Этап 7.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$15 y^{2} ((y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3))$

Этап 7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$15 y^{2} (y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)$