Основы алгебры Примеры

$\frac{y^{2} - 13}{y^{2} - 2 y - 3} - \frac{1}{3 - y}$

Этап 1

Разложим $y^{2} - 2 y - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{3 - y}$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (- 3) - y}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (- 3) - (y)}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 3) - (y)$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (- 3 + y)}$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (y - 3)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{1}{- 1 (y - 3)}$

Этап 4

Чтобы записать $- \frac{1}{- 1 (y - 3)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{1}{- 1 (y - 3)} \cdot \frac{y + 1}{y + 1}$

Этап 5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(y - 3) (y + 1) \cdot - 1$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{(y - 3) (y + 1) \cdot - 1} - \frac{1}{- 1 (y - 3)} \cdot \frac{y + 1}{y + 1}$

Этап 5.2

Умножим $\frac{1}{- 1 (y - 3)}$ на $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{(y - 3) (y + 1) \cdot - 1} - \frac{y + 1}{- 1 (y - 3) (y + 1)}$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $(y - 3) (y + 1) \cdot - 1$ .

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{- (y + 1) (y - 3)} - \frac{y + 1}{- 1 (y - 3) (y + 1)}$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в $- 1 (y - 3) (y + 1)$ .

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{- (y + 1) (y - 3)} - \frac{y + 1}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} \cdot - 1 - 13 \cdot - 1 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 7.2

Перенесем $- 1$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2} - 13 \cdot - 1 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 7.3

Умножим $- 13$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2} + 13 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 7.4

Перепишем $- 1 y^{2}$ в виде $- y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} + 13 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- y^{2} + 13 - y - 1 \cdot 1}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 7.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- y^{2} + 13 - y - 1}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 7.7

Вычтем $1$ из $13$ .

$\frac{- y^{2} - y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 7.8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{- y^{2} - (y) + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 7.8.1.2

Запишем $- 1$ как $3$ плюс $- 4$

$\frac{- y^{2} + (3 - 4) y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 7.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- y^{2} + 3 y - 4 y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 7.8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- y^{2} + 3 y) - 4 y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 7.8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{y (- y + 3) + 4 (- y + 3)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 7.8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- y + 3$ .

$\frac{(- y + 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $- y + 3$ и $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{(- (y) + 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 8.1.2

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{(- (y) - 1 (- 3)) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (y - 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 8.1.4

Перепишем $- (y - 3)$ в виде $- 1 (y - 3)$ .

$\frac{- 1 (y - 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 8.1.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (y - 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Этап 8.1.6

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (y + 4)}{- (y + 1)}$

Этап 8.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y + 4}{y + 1}$