Основы алгебры Примеры

$\frac{1}{10 x^{5}}$ , $\frac{1}{3 x^{4}}$ , $\frac{12}{5 x^{2}}$

Этап 1

Since $\frac{1}{10 x^{5}}, \frac{1}{3 x^{4}}, \frac{12}{5 x^{2}}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $\frac{1}{10}, \frac{1}{3}, \frac{12}{5}$ then find LCM for the variable part $x^{5}, x^{4}, x^{2}$ .

Этап 2

Чтобы найти НОК набора дробей, проверим, равны ли знаменатели.

Дроби с одинаковым знаменателем:

1: $НОК (\frac{a}{b}, \frac{c}{b}) = \frac{НОК (a, c)}{b}$

Дроби с разными знаменателями, такие как $НОК (\frac{a}{b}, \frac{c}{d})$ :

1: Найти наименьшее общее кратное для $b$ и $d = НОК (b, d)$

2: Умножить числитель и знаменатель первой дроби $\frac{a}{b}$ на $\frac{НОК (b, d)}{b}$

3: Умножить числитель и знаменатель второй дроби $\frac{c}{d}$ на $\frac{НОК (b, d)}{d}$

4: Сделав знаменатели всех дробей одинаковыми (в данном случае только у двух дробей), найдем НОК новых числителей.

5: НОК будет $\frac{НОК (числители)}{НОК (b, d)}$

Этап 3

Найдите НОК для знаменателей $\frac{1}{10 x^{5}}, \frac{1}{3 x^{4}}, \frac{12}{5 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $N$ в степень $1$ .

$N \cdot N a, N a N, N a N$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$N^{1 + 1} a, N a N, N a N$

Этап 3.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$N^{2} a, N a N, N a N$

Этап 3.1.4

Возведем $N$ в степень $1$ .

$N^{2} a, N \cdot N a, N a N$

Этап 3.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$N^{2} a, N^{1 + 1} a, N a N$

Этап 3.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$N^{2} a, N^{2} a, N a N$

Этап 3.1.7

Возведем $N$ в степень $1$ .

$N^{2} a, N^{2} a, N \cdot N a$

Этап 3.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$N^{2} a, N^{2} a, N^{1 + 1} a$

Этап 3.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$N^{2} a, N^{2} a, N^{2} a$

Этап 3.2

Since $N^{2} a, N^{2} a, N^{2} a$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $N^{2}, a^{1}, N^{2}, a^{1}, N^{2}, a^{1}$ .

Этап 3.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 3.6

Множители $N^{2}$ — $N \cdot N$ , то есть $N$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$N^{2} = N \cdot N$

$N$ встречается $2$ раз.

Этап 3.7

Множителем $a^{1}$ является само значение $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ встречается $1$ раз.

Этап 3.8

Множители $N^{2}$ — $N \cdot N$ , то есть $N$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$N^{2} = N \cdot N$

$N$ встречается $2$ раз.

Этап 3.9

Множителем $a^{1}$ является само значение $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ встречается $1$ раз.

Этап 3.10

Множители $N^{2}$ — $N \cdot N$ , то есть $N$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$N^{2} = N \cdot N$

$N$ встречается $2$ раз.

Этап 3.11

Множителем $a^{1}$ является само значение $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ встречается $1$ раз.

Этап 3.12

НОК $N^{2}, a^{1}, N^{2}, a^{1}, N^{2}, a^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$N \cdot N \cdot a$

Этап 3.13

Умножим $N$ на $N$ .

$N^{2} a$

Этап 4

Умножим каждое число на $\frac{n}{n}$ , где $n$ — это число, составляющее знаменатель $N^{2} a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1}{10 x^{5}}$ на $\frac{N^{2} a}{10 x^{5}}$ .

$\frac{1 \cdot \frac{N^{2} a}{10 x^{5}}}{10 x^{5} \cdot \frac{N^{2} a}{10 x^{5}}}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{N^{2} a}{10 x^{5}}$ на $1$ .

$\frac{\frac{N^{2} a}{10 x^{5}}}{10 x^{5} \cdot \frac{N^{2} a}{10 x^{5}}}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $10 x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{N^{2} a}{10 x^{5}} \cdot \frac{N^{2} a}{10 x^{5}}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{N^{2} a}{N^{2} a}$

Этап 4.4

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1}{3 x^{4}}$ на $\frac{N^{2} a}{N^{2} a}$ .

$\frac{1 \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}}{3 x^{4} \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}}$

Этап 4.5

Умножим $\frac{N^{2} a}{N^{2} a}$ на $1$ .

$\frac{\frac{N^{2} a}{N^{2} a}}{3 x^{4} \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $N^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{N^{2} a}{N^{2} a}}{3 x^{4} \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}}$

Этап 4.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{a}{a}}{3 x^{4} \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}}$

Этап 4.7

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{a}{a}}{3 x^{4} \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}}$

Этап 4.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 x^{4} \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}}$

Этап 4.8

Сократим общий множитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Сократим общий множитель $N^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 x^{4}} \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}$

Этап 4.8.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 x^{4}} \cdot \frac{a}{a}$

Этап 4.8.2

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 x^{4}} \cdot \frac{a}{a}$

Этап 4.8.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 x^{4}} \cdot 1$

Этап 4.9

Умножим $3 x^{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{3 x^{4}}$

Этап 4.10

Умножим числитель и знаменатель $\frac{12}{5 x^{2}}$ на $\frac{1}{3 x^{4}}$ .

$\frac{12 \cdot \frac{1}{3 x^{4}}}{5 x^{2} \cdot \frac{1}{3 x^{4}}}$

Этап 4.11

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$3 (4) \cdot \frac{\frac{1}{3 x^{4}}}{5 x^{2} \cdot \frac{1}{3 x^{4}}}$

Этап 4.11.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4}$ .

$3 (4) \cdot \frac{\frac{1}{3 (x^{4})}}{5 x^{2} \cdot \frac{1}{3 x^{4}}}$

Этап 4.11.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 4 \cdot \frac{\frac{1}{3 x^{4}}}{5 x^{2} \cdot \frac{1}{3 x^{4}}}$

Этап 4.11.4

Перепишем это выражение.

$4 \cdot \frac{\frac{1}{x^{4}}}{5 x^{2} \cdot \frac{1}{3 x^{4}}}$

Этап 4.12

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{4}{x^{4}}}{5 x^{2} \cdot \frac{1}{3 x^{4}}}$

Этап 4.13

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2}} \cdot 5 \cdot \frac{1}{3 x^{4}}$

Этап 4.13.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{4}$ .

$\frac{4}{x^{2}} \cdot 5 \cdot \frac{1}{x^{2} (3 x^{2})}$

Этап 4.13.3

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{x^{2}} \cdot 5 \cdot \frac{1}{x^{2} (3 x^{2})}$

Этап 4.13.4

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Этап 4.14

Объединим $5$ и $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$\frac{\frac{4}{5}}{3 x^{2}}$

Этап 4.15

Запишем новый список с теми же знаменателями.

$\frac{N^{2} a}{N^{2} a}, \frac{1}{3 x^{4}}, \frac{\frac{4}{5}}{3 x^{2}}$

Этап 5

Найдем НОК для $N^{2} a, 1, 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Since $N^{2} a, 1, 4$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 4$ then find LCM for the variable part $N^{2}, a^{1}$ .

Этап 5.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 5.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 5.6

Множители $N^{2}$ — $N \cdot N$ , то есть $N$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$N^{2} = N \cdot N$

$N$ встречается $2$ раз.

Этап 5.7

Множителем $a^{1}$ является само значение $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ встречается $1$ раз.

Этап 5.8

НОК $N^{2}, a^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$N \cdot N \cdot a$

Этап 5.9

Умножим $N$ на $N$ .

$N^{2} a$

Этап 5.10

НОК $N^{2} a, 1, 4$ представляет собой произведение числовой части $4$ и переменной части.

$4 N^{2} a$

Этап 6

Ответ можно найти, если взять НОК $N^{2} a, 1, 4$ и разделить его на НОК $10, 3, 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим НОК $N^{2} a, 1, 4$ на НОК $10, 3, 5$ .

$\frac{4 N^{2} a}{N^{2} a}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $N^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 N^{2} a}{N^{2} a}$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 a}{a}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 a}{a}$

Этап 6.3.2

Разделим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 7

Множители $x^{5}$ — $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $5$ раз.

$x^{5} = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ встречается $5$ раз.

Этап 8

Множители $x^{4}$ — $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $4$ раз.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ встречается $4$ раз.

Этап 9

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 10

НОК $x^{5}, x^{4}, x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

Этап 11

Упростим $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x \cdot x$

Этап 11.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x \cdot x$

Этап 11.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 1} \cdot x \cdot x$

Этап 11.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{3} \cdot x \cdot x$

Этап 11.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1} \cdot x$

Этап 11.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 1} \cdot x$

Этап 11.3.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4} \cdot x$

Этап 11.4

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} \cdot x^{1}$

Этап 11.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4 + 1}$

Этап 11.4.2

Добавим $4$ и $1$ .

$x^{5}$

Этап 12

НОК $\frac{1}{10 x^{5}}, \frac{1}{3 x^{4}}, \frac{12}{5 x^{2}}$ представляет собой произведение числовой части $4$ и переменной части.

$4 x^{5}$