Основы алгебры Примеры

$\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $5$ .

$2, 3$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{1}{x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{1}{x + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 2) (x + 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{x + 2}$ на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{x + 3}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x + 2}{(x + 3) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x + 3) (x + 2)$ .

$\frac{x + 3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x + 2}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + 3 + x + 2}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + 3 + x + 2 + 1}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 7

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{2 x + 3 + 2 + 1}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 8

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{2 x + 5 + 1}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 8.2

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{2 x + 6}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 9

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 6}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 9.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 3}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{2 (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 10

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x + 2}$