Основы алгебры Примеры

$\frac{x}{x y - y^{2}} + \frac{2 x - y}{x y - x^{2}}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $x y - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{x}{y x - y^{2}} + \frac{2 x - y}{x y - x^{2}}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$\frac{x}{y x + y (- y)} + \frac{2 x - y}{x y - x^{2}}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y (- y)$ .

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{2 x - y}{x y - x^{2}}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $x y - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{2 x - y}{x (y) - x^{2}}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{2 x - y}{x (y) + x (- x)}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (y) + x (- x)$ .

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{2 x - y}{x (y - x)}$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{2 x - y}{x (- 1 (- y) - x)}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{2 x - y}{x (- 1 (- y) - (x))}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- y) - (x)$ .

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{2 x - y}{x (- 1 (- y + x))}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем знак минус из знаменателя $\frac{2 x - y}{x (- 1 (- y + x))}$ в числитель.

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{- (2 x - y)}{x (- y + x)}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{- (2 x - y)}{x (x - y)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{x}{y (x - y)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{y (x - y)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- (2 x - y)}{x (x - y)}$

Этап 4

Чтобы записать $\frac{- (2 x - y)}{x (x - y)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x}{y (x - y)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- (2 x - y)}{x (x - y)} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (x - y) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{x}{y (x - y)}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{y (x - y) x} + \frac{- (2 x - y)}{x (x - y)} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 5.2

Умножим $\frac{- (2 x - y)}{x (x - y)}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x \cdot x}{y (x - y) x} + \frac{- (2 x - y) y}{x (x - y) y}$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $y (x - y) x$ .

$\frac{x \cdot x}{x y (x - y)} + \frac{- (2 x - y) y}{x (x - y) y}$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в $x (x - y) y$ .

$\frac{x \cdot x}{x y (x - y)} + \frac{- (2 x - y) y}{x y (x - y)}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x \cdot x - (2 x - y) y}{x y (x - y)}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - (2 x - y) y}{x y (x - y)}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + (- (2 x) - - y) y}{x y (x - y)}$

Этап 7.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + (- 2 x - - y) y}{x y (x - y)}$

Этап 7.4

Умножим $- - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + (- 2 x + 1 y) y}{x y (x - y)}$

Этап 7.4.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + (- 2 x + y) y}{x y (x - y)}$

Этап 7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 2 x y + y \cdot y}{x y (x - y)}$

Этап 7.6

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{x y (x - y)}$

Этап 7.7

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Этап 7.7.2

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}{x y (x - y)}$

Этап 7.7.3

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = y$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x y (x - y)}$

Этап 8

Сократим общий множитель ${(x - y)}^{2}$ и $x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x - y$ из ${(x - y)}^{2}$ .

$\frac{(x - y) (x - y)}{x y (x - y)}$

Этап 8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $x - y$ из $x y (x - y)$ .

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x - y) (x y)}$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x - y) (x y)}$

Этап 8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - y}{x y}$