Основы алгебры Примеры

$\frac{x + 6}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x + 6}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} - 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 2) (x - 2) (x - 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 6) (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 6) (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} + \frac{2 (x + 2)}{(x - 3) (x - 2) (x + 2)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 3) (x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 6) (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} + \frac{2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 6) (x - 3) + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(x + 6) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x - 3) + 6 (x - 3) + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 6 (x - 3) + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.2.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x + 6 x + 6 \cdot - 3 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $6$ на $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 6 x - 18 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.2.2

Добавим $- 3 x$ и $6 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 18 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 3 x - 18 + 2 x + 2 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 18 + 2 x + 4}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.5

Добавим $3 x$ и $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x - 18 + 4}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.6

Добавим $- 18$ и $4$ .

$\frac{x^{2} + 5 x - 14}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.7

Разложим $x^{2} + 5 x - 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 14$ , а сумма — $5$ .

$- 2, 7$

Этап 6.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 7}{(x + 2) (x - 3)}$